Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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3.6 Aussagenlogische Übersetzung
Wesentlich ist nun das bounded model checking Problem auf aussagenlogische
Erfüllbarkeit zu reduzieren. Dafür ist eine aussagenlogische Formel der Art M,f k
notwendig. Die Größe dieser Formel ist polynomial zur Größe von f. Sie ist quadratisch
in k und linear zur Größe der aussagenlogischen Formel für T , I und
p ∈A. Damit ist es möglich existentielle bounded model checking Ausdrücke in
polynomialer Zeit in die gewünschte Aussagenlogik zu reduzieren.
Entfaltung des Transitionssystems:
M k := I(s 0 ) ∧ k−1 ∧
i=0
T (s i ,s i+1 )
Die Übersetzung von der temporalen Formel f hängt davon ab, ob eine k-Schleife
(Notation “ l · i k ”) existiert oder nicht (Notation “·i k ”).
3.7 LTL spezifisch: Aussagenlogische Übersetzung
Es wird nun die Formel h := p U q auf einem Pfad π ohne k-Schleife näher betrachtet.
Sie besagt, würde man im Zustand π i starten unter der Bedingung, dass
i ≤ k gilt, dann ist diese Formel h gültig, falls es eine Position j mit i ≤ j ≤ k
gibt und q in π j gültig ist. Es muss folglich für alle Zustände π(n) zwischen
π(i) und π(j − 1) die Aussage p erfüllt sein. Die Übersetzung ist dabei denkbar
einfach, es muss eine Disjunktion über alle möglichen Positionen j durchgeführt
werden, auf denen q gilt. Auf jeder dieser Positionen muss eine Konjunktion
durchgeführt werden, die erlaubt, dass p entlang des Pfades von π(i) bis π(j −1)
gültig ist.
Wenn man von der Formel · i k
ausgeht, so werden die einzelnen Teilformeln
rekursiv bearbeitet. Es ist dabei festzuhalten, dass sich die aktuelle Position i
natürlich ändern kann, k hingegen nie.
Für eine LTL-Formel f und k, i ∈ N, mit i ≤ k gilt:
p i k
:= p(s i ) ¬p i k := ¬p(s i)
f ∧ ∨ gi k := fi k
∧
∨ gi k
Gf i k
:= false Ff i k := ∨ k
j=i fj k
Xf i k
:= falls i