Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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auf Gatterlisten beruht, kann es zur Lösung von SAT-Gleichungen angewandt
werden.
Stålmarcks Methode Auf Stålmarck [5] geht ein patentiertes Verfahren zum Ausprobieren
von Variablen zurück. Dabei wird in einem ersten Schritt eine Gleichung
in eine Schreibweise aus verschachtelten Implikationen überführt. Diese
Implikationen werden als Tripel (Ergebnis, Implikant, Folgerung) in einer Menge
zusammengefasst. Die Tripel können nach sieben Ableitungsregeln und einer
Dilemma-Regel ersetzt werden.
Zum Beweis wird angenommen, dass die Gleichung nicht erfüllbar ist. Kann
diese Annahme durch Anwendung der Regeln auf die Menge der Regeln zum
Widerspruch geführt werden, ist die Gleichung erfüllbar.
Enummerierende Algorithmen Enummerierende Algorithmen traversieren
den Suchraum.
Davis-Putnam-Logemann-Loveland Ein Beispiel für ein enummerierendes Verfahren
ist der Algorithmus von Davis-Logemann-Loveland (DLL) [6]. Da das
ursprüngliche Davis-Putnam-Verfahren (Abschnitt 2.1) sehr viel Speicher verbrauchen
kann, wurde in diesem neuen Ansatz eine Baumsuche verwendet. Die
hier vorkommenden Suchoperationen können auf DP-Resolutionsoperationen abgebildet
werden. Daher wird der DLL-Algorithmus auch mit DPLL abgekürzt.
Der Lösungsraum wird auf einen binären Entscheidungsbaum abgebildet, wobei
im einfachsten Fall in jeder Ebene 1 ≤ i ≤ n entschieden wird, ob die Variable
x i mit 0 oder 1 belegt wird. Der Pfad von der Wurzel zu einem Blatt ist somit
eine vollständige Belegung A, d.h.|A| = n. Befindet sich der Suchalgorithmus
nicht an einem Blatt, sondern an einem inneren Knoten, ist die Belegung A nur
partiell und einige Variablen sind frei (nicht belegt).
0 1
i
i +1
Abb. 3. Binärer Suchbaum.
Der Baum wird mit einem Backtracking-
Algorithmus [7] durchsucht. Wird durch eine
Belegungszuweisung an eine Variable die
SAT-Gleichung unerfüllbar, wird der darunterhängende
Teilbaum ausgeblendet und die
Variablenzuweisung invertiert. Sind beide Alternativen
gescheitert, geht der Algorithmus
eine Ebene zurück und ändert die Zuweisung
der vorherigen Variable. Der Algorithmus
terminiert, sobald ein Blatt erreicht wird und die vollständige Belegung die
Gleichung erfüllt (Lösung gefunden) oder alle Möglichkeiten ausgeschöpft sind
und der Algorithmus zur Wurzel zurückgekehrt ist (Unerfüllbarkeit bewiesen).
Problematisch ist allerdings, dass bei einem ungünstigen Aufbau sehr viel Zeit
benötigt wird, um falsche Entscheidungen zu entdecken. In den Gleichungen 2
bis 5 wird ein solches Beispiel gezeigt. Die Entscheidung für x 1 und x 2 (partielle
Belegung A) wirderstdannalsungültig entdeckt, wenn die Ebene k mit 2 <
k ≤ n im Binärbaum erreicht wird. Dieses Problem wurde von Davis, Logemann