Verifikation reaktiver Systeme - UniversitÃ¤t Kaiserslautern

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12 von der Position aus der die Schleife startet. Das Problem des Nachfolgers wird wie folgt gelöst: Sei k, l, i ∈ N mit l, i ≤ k, dann ist der Nachfolger succ(i) von i in der (k,l)-Schleife definiert als: succ(i) :=i +1für i
3.8 Bestimmung der Schranke k Das Problem was bisher umgangen wurde ist die Wahl der Schranke k. Ausgehend von dem verwendeten Beispiel M |= k Ef wird für ein vorgegebenes k überprüft, ob die Bedingung erfüllt ist. Würde dann bei diesem k der Fall M ̸|= k Ef auftreten, so wird der Wert von k inkrementell erhöht. Dies kann potentiell zum Halteproblem führen, was bedeutet, die Prozedur terminiert nie. Diese Aussage würde zutreffen, wenn k potentiell unendlich groß werden könnte. Dies ist aber nicht möglich. Um nun aber Aussagen treffen zu können, ob die Schlussfolgerung M ̸|= k Ef zutrifft, also ob k nicht in dem ihm möglichen Intervall liegt, müssen Eingrenzungen für k getroffen werden. Die Behauptung, dass k in einem Intervall liegt ist relativ intuitiv. Die zugrundeliegende Struktur ist ein endlicher Automat mit endlich vielen Zuständen. Da nur endlich viele besucht werden können, kommen ab einer bestimmten Schranke k keine neuen Zustände mehr in die betrachtete Menge hinzu und es kann mit der Erhöhung der Schranke gestoppt werden. Also gilt als grobe Nährung, wenn M |= Ef gilt, dann muss die Schranke k ≤|M| sein. Hierbei ist |M| die Anzahl der Zustände der Kripke-Struktur. Das Problem was sich hierbei ergeben würde wäre, dass der Zustandsraum nicht bekannt ist und so auch nicht die betrachtete Anzahl an Zuständen. Auf Grund der booleschen Kodierung der Zustände ist es aber möglich die Anzahl an Zuständen nach oben zu begrenzen. Die maximale Anzahl an Zuständen einer Struktur wäre demnach 2 n , wobei n die Anzahl der booleschen Variablen darstellt. Bei Modellierung größerer <strong>Systeme</strong> ist es offensichtlich, dass diese Grenze zu groß gewählt ist (32-bit Register). Definition Diameter Ein Diameter einer Kripke-Struktur M ist die minimale Anzahl d ∈ N mit folgender Eigenschaft: Für jede Sequenz von Zuständen s 0 , ..., s d+1 mit (s i ,s i+1 ) ∈ T für i ≤ d, existiert eine Sequenz von Zuständen t 0 , ..., t l mit l ≤ d, so dass t 0 = s 0 , t l = s d+1 und (t j ,t j+1 ) ∈ T für j ≤ l gilt. Ist also ein Zustand v von einem Zustand u erreichbar, dann ist v auch über einen Pfad der Länge kleiner d ausgehend von u erreichbar. Für eine Formel f := EFp wäre dann M |= EFp erfüllt, wenn ein k ≤ d existiert, mit M |= k EFp. Der Diameter d ist die minimale Anzahl an zu untersuchenden Zuständen, die folgende Formel erfüllt: d∧ ∀s 0 , ..., s d+1 .∃t 0 , ..., t d . T (s i ,s i+1 ) → (t 0 = s 0 ∧ d−1 ∧ ∨ T (t i ,t i+1 ∧ d t i = s d+1 ) i=0 13 i=0 i=0 s i = s d+1 i=0 Definition Rekurrenz-Diameter Hierunter versteht man die kleinste Zahl d ∈ N mit folgender Eigenschaft. Für jede Sequenz von Zuständen s 0 , ..., s d+1 mit (s i ,s i+1 ) ∈ T für i ≤ d existiert ein j ≤ d, so dass s d+1 = s j gilt. Sei nun eine Formel f mit Rekurrenz-Diameter d gegeben dann gilt M |= Ef genau dann, wenn ein k ≤ d existiert, mit M |= k Ef. Der Rekurrenz-Diameter d ist die minimale Anzahl die folgende Formel erfüllt: ∀s 0 , ..., s d+1 . d∧ ∨ T (s i ,s i+1 ) → d i=0
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158 Literatur 1. Prof. Dr. Kunz: Sk
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162 1.2 ω-Automaten Diese Definiti
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166 - Gϕ := ¬F ¬ϕ Es gilt also
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172 function MSO < S1S(φ) case φ
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176 function MSO < Omega(φ) case
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178 function nachfolger(x 0,x 1) re
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180 verzichtet und diese nur impliz
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184 Zu einer Presburger N -Formel
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188 Sei umgekehrt Sing (z) Z erfül
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192 Bei heutigen Systemen stößt d
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232 val SHIFT_def = Define ‘SHIFT
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236 The steps of the proof are as f
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238 a + b = a + b This property is
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242 REWRITE_TAC[is_gcd_def] THEN RE
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246 val ARW_TAC = RW_TAC int_ss; (*
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256 (* ABS_NOT_0_POSITIVE: |- !x:in
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258 * * alternative representation
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260 (* neutral elements *) val rat_
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262 (SPEC ‘‘0i‘‘ (SPEC ‘
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264 in ARW_TAC[] THEN PROVE_TAC[INT
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266 end; * dnm (rep_rat (abs_rat x)
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268 * |- !x y. ~(nmr y = 0) ==> * (
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270 * * RAT_MULT_LID: thm * |- !a.
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272 end; STRIP_TAC THEN ASSUME_TAC
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274 Modellierung von synchronen Spr
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276 PES (G,G) PAD (S,G) PAN (P,G) K
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278 die Abarbeitung von S folgt. de
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280 4 Esterel und (P,P)-PES (1,1)-P
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282 Probleme bereitet bei der Defin
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