Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Es konnten in diesem Beispiel also insgesamt vier Teilbäume, welche selbst
wiederum neue Teilbäume hätten hervorbringen können, von der Berechnung
ausgeschlossen werden. Weiterhin wurden die Zustände s 4 und s 5 überhaupt
nicht besucht.
Schleifenbildung und Rang
Wie im Proof–Tree bereits angesprochen, können Knoten mit gleichem Inhalt
verbunden werden, wenn sie sich in demselben Sichbarkeitsbereich befinden. Weiter
oben wurde bereits gesagt, dass beim wiederholten Erreichen eines Knoten
(s x , σx.ϕ) abhängig von der Fixpunktart 0 oder 1 zurückgegeben wird. Um zu
erklären, warum dies korrekt ist, seien folgende Mengen
iter 0 (σx.ϕ), iter 1 (σx.ϕ),...,iter n (σx.ϕ) für σ ∈{µ, ν}
die bei der Fixpunktiteration Auftretenden. Wenn es sich hierbei um einen kleinsten
Fixpunkt (σ = µ) handelt, gilt:
s ∈ µx.ϕ K ⇒∃n ∈ N.s ∈ iter n (µx.ϕ) K
In Worten: Sollte s in der Menge des Fixpunktes liegen, dann muss es eine
bestimmte Zahl n geben, die für die n–te Iteration steht, in welcher s sich in
der Menge befindet. Dies muss gelten, da bei der Iteration für einen kleinsten
Fixpunkt mit der leeren Menge begonnen wird.
Aufgrund der Monotonie der Fixpunktiteration muss es also ein kleinstes
n geben, welches diese Eigenschaft erfüllt (d.h. dieses n ist die Nummer der
Iteration, in welcher s in die Fixpunktmenge aufgenommen wird). Dies bietet
die Möglichkeit, jedem Zustand (bei einer fest gegebenen Fixpunktformel) einen
Wert – seinen Rang – zuzuweisen.
Dieser zum Zustand s i zugehörige Rang für die Formel σx.ϕ lässt sich somit
bestimmen durch:
{
0 ,s /∈ µx.ϕ K
rank(s i , µx.ϕ) :=
n ,∀x ∈ N.s ∈ iter x (µx.ϕ) → n ≤ x
{
0 ,s∈ νx.ϕ K
rank(s i , νx.ϕ) :=
n ,∀x ∈ N.s /∈ iter x (νx.ϕ) → n ≤ x
Dadurch ist es möglich, die Zustände in eine Ordnung zueinander zu setzen. Sie
werden ihrem Rang nach geordnet. Bei einem kleinsten Fixpunkt werden zum
Beispiel der Reihe nach Zustände vom Rang 1, dann Zustände vom Rang 2, usw.
hinzugefügt (bei einem größten Fixpunkt werden die Zustände dem Rang nach
aus der Menge entfernt).
Zustände, die in einem größten Fixpunkt liegen, haben damit den Rang 0.
Genauso wie Zustände, die nicht in einem kleinsten Fixpunkt liegen.