Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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– ϕ ←− U ψ ∈ LTL für alle Formeln ϕ, ψ ∈ LTL
Definition 18 (Semantik von LTL). Sei α : N → 2 V ein unendliches Wort
und ϕ eine LTL-Formel über V. Dannseifür i ∈ N die Aussage (α, i) |= ϕ
(Sprechweise: α im Zeitpunkt i erfüllt ϕ) definiert durch:
– (α, i) |= x gdw. x ∈ α (i) für x ∈V
– (α, i) |= ¬ϕ gdw. nicht (α, i) |= ϕ
– (α, i) |= Xϕ gdw. (α, i +1)|= ϕ
– (α, i) |= ←− Xϕ gdw. i>0 und (α, i − 1) |= ϕ
– (α, i) |= ϕ ∧ ψ gdw. (α, i) |= ϕ und (α, i) |= ψ
– (α, i) |= ϕUψ gdw. es gibt es k ≥ i mit (α, k) |= ψ und für alle i ≤ jkgilt (α, j) |= ϕ
Ein unendliches Wort α : N → 2 V erfüllt eine LTL-Formel ϕ über V (Schreibweise:
α |= ϕ) genau dann, wenn (α, 0) |= ϕ gilt.
Für LTL-Formeln werden die üblichen Abkürzungen ∨, → und ↔ verwendet.
Außerdem werden weitere temporale Operatoren benutzt:
Fϕ := 1 U ϕ
←− Fϕ:= 1
←− U ϕ
Gϕ := ¬F ¬ϕ
←− Gϕ := ¬
←− F ¬ϕ
ϕBψ := (¬ψ) U (ϕ ∧¬ψ)
ϕ ←− B ψ := (¬ψ) ←− U (ϕ ∧¬ψ)
ϕUψ:= (ϕ Uψ) ∨ Gϕ
ϕ ←− U ψ := (ϕ ←− U ψ) ∨ ←− Gϕ
ϕBψ:= (ϕ Bψ) ∨ G¬ψ
ϕ ←− Bψ:= (ϕ ←− B ψ) ∨ ←− G¬ψ
Betrachtet man – analog zur Übersetzung von ω-Automaten in S1S – die
von einem Wort induzierte Variablenbelegung, so lässt sich zu einer LTL-Formel
ϕ LTL über 2 V leicht eine MSO < -Formel ϕ MSO< konstruieren, so dass jedes Wort
α über 2 V genau dann ϕ LTL erfüllt, wenn ξ α die Formel ϕ MSO< erfüllt. Abb. 9
beschreibt die Konstruktion einer solchen Formel. Damit kann auch für jede
LTL-Formel ein äquivalenter ω-Automat konstruiert werden.
4.2 Presburger-Arithmetik
Definition 19 (Presburger-Arithmetik). Presburger-Arithmetik ist die Prädikatenlogik
erster Stufe mit Gleichheit über den natürlichen Zahlen, die