Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

Ç ? ¾ ³ ³ > ¸ ? A ½ º Ã 9 C ¾ Å ² 9 ³ Ã ½ ³ ¾ ³ A º ³ º Ñ ¾ ? þ ¾ ³ > ¿ Á ¡ Ô ³ > ? º Â > C 9 µ º ³ 9 C ¹ ³ Ã ³ º Ë º ¼ ³ > ¾ ³ C À ? C C Å
î
? : 9 º ¾ 9 ³ Ã ³ 9 C ³ º ? º Ã Ê µ ¸ 9 µ ³ ¿ 9 C Ã µ > Ê C À A C ¹ ¾ ? > Ã º ³ ¸ ¸ º Ñ ¼ 9 > ¾ ¼ ³ 9 º ³ > 9 C ¹ ³ Ç Â > ¾ ³ > º Ñ ¾ ? Ã Ã
²
9 ³ Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C 9 Ã º ³ 9 C ³ 9 C ¾ ³ > è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ô > È Ç A C ¹ ³ 9 C ¹ ³ Ã ³ º Ë º ³ 8 ³ µ C 9 À Ë A > + ³ ¾ A À º 9 Â C
²
³ > è Â ¾ ³ ¸ ¸ À Â : Ô ¸ ³ ¤ 9 º Ê º Å ´ 9 ³ ½ ? Ã 9 ³ > º ¾ ? > ? A Ç Ñ ³ 9 C Ë A : < ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ ? ¸ Ã î > Â ¹ > ? : : Â ¾ ³ >
¾
> 9 Ô À ³ Á ´ º > A À º A > ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ³ Ã ¡ > 9 ¹ 9 C ? ¸ : Â ¾ ³ ¸ ¸ æ ? A µ À Â C À > ³ º ³ Ã è Â ¾ ³ ¸ ¸ ¹ ³ C ? C C º ê ? A Ç ³ 9 C
¢
½ Ã º > ? À º ³ Ã è Â ¾ ³ ¸ ¸ : 9 º ³ 9 C ³ C À ¸ ³ 9 C ³ > ³ C ì A Ã º ? C ¾ Ã > ? A : ? ½ Ë A ½ 9 ¸ ¾ ³ C A C ¾ C A > ³ 9 C ³ î > È Á
?
A C ¹ ¾ 9 ³ Ã ³ Ã ³ 9 C Ç ? µ ³ > ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã ¾ A > µ Ë A Ç È > ³ C Å ² ? ¾ 9 ³ Ï ½ ½ 9 ¸ ¾ A C ¹ ? A Ç Ð 9 ³ ¸ Ç Ê ¸ º 9 ¹ ³
Ç
³ 9 Ã ³ ¾ A > µ ¹ ³ Ç È > º ¼ ³ > ¾ ³ C À ? C C A C ¾ Ã 9 µ ¾ ? > ? A Ã ú ³ C ? µ Ï C ¼ ³ C ¾ A C ¹ Ð ³ > Ã µ 9 ³ ¾ ³ C ³
Ö
 > Á A C ¾ & ? µ º ³ 9 ¸ ³ ³ > ¹ ³ ½ ³ C Ñ ³ ¤ 9 à º 9 ³ > º ³ 9 C ³ ¹ ? C Ë ³ + ³ 9 ³ A C º ³ > à µ 9 ³ ¾ ¸ 9 µ ³ > Ï ½ à º > ? À º 9 Á
Ì
C Ã Ð ³ > Ç ? > ³ C Å Î C ¢ ¦ ¼ 9 > ¾ ³ 9 C ³ ½ ³ > Ã 9 µ º È ½ ³ > ¾ 9 ³ Ð ³ > Ã µ 9 ³ ¾ ³ C ³ C Ï C Ã Ê º Ë ³ ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C Ñ
Â
9 C ³ < ³ Ã µ > ³ 9 ½ A C ¹ ¾ ³ > Æ > A C ¾ 9 ¾ ³ ³ ¹ ? ½ ³ Ã ½ ³ > ³ 9 º Ã 9 : Ù ? > ³ ¢ ¡ ¦ Å
³
9 C ³ å ã ÷ Ý Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C Ç È > º ³ 9 C ³ > Ã ³ 9 º Ã Ë A ³ 9 C ³ > : » ¹ ¸ 9 µ Ã º Ã º ? > À ³ C Ì ³ > ³ 9 C Ç ? µ A C ¹
¿
æ
©
9 µ º 9 ¹ 9 Ã º ¾ ? ½ ³ 9 Ñ ¾ ? Ã Ã Ã 9 µ ¾ 9 ³ Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C C 9 µ º ? A Ç ¾ ? Ã Ì ³ > ? ¸ º ³ C ? A Ã ¼ 9 > À º Ñ ¾ ³ Ã Ã ³ C
¼
9 ¹ ³ C Ã µ ? Ç º ³ C ó ä Ü Ý à ñ ß Ý ò ó ô õ ö ÷ ó Û ä Ý ü ¤ à ó Ý Ý ä ¼ 9 > ¾ Å Ï C Ã Â C Ã º ³ C À ? C C ³ 9 C ³ î > È Ç A C ¹
¿
³ Ã ? ½ Ã º > ? À º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã ³ Ð ³ C º A ³ ¸ ¸ À ³ 9 C ³ Î C Ç Â > : ? º 9 Â C ³ C : ³ > ¾ ? > È ½ ³ > ¸ 9 ³ Ç ³ > C Ñ ¼ 9 ³ Ã 9 µ
¾
? Ã À Â C À > ³ º ³ è Â ¾ ³ ¸ ¸ ½ ³ Ë È ¹ ¸ 9 µ ¾ ³ > ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C Ð ³ > Ê ¸ º A C ¾ ¾ ? Ã ì 9 ³ ¸ ¾ ³ > Ï ½ Ã º > ? À Á
¾
9 Â C ¼ Ê > ³ Ð ³ > Ç ³ ¸ º Å
º
¼ ³ 9 ¢ ¸ ? Ã Ã ³ C Ð Â C Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C ³ C Ã 9 C ¾ ¾ 9 ³ Ã ½ ³ Ë È ¹ ¸ 9 µ ½ ³ Ã Â C ¾ ³ > Ã 9 C º ³ > ³ Ã Ã ? C º ¾ 9 ³
ì
M ò å Þ W Ü Ý à ñ ß Ý ò ó ô õ ö ÷ ó Û ä φA
ˆM |= φ ⇔ M |= φ W
ˆM |= φ ⇒ M |= φ W
M ò å Þ W Ü Ý à
³ 9 ³ ¤ ? À º ³ C Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C ³ C ¸ 9 ³ Ç ³ > C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ô > È Ç A C ¹ ³ C ¾ ³ Ã À Â C À > ³ º ³ C A C ¾ ¾ ³ Ã ? ½ Ã º > ? À Á
<
³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã Ã º ³ º Ã ¾ ? Ã Ã ³ ¸ ½ ³ ¿ > ¹ ³ ½ C 9 Ã Å ² ? ¹ ³ ¹ ³ C À » C C ³ C A C º ³ > Ì ³ > ¼ ³ C ¾ A C ¹ ³ 9 C ³ > À Â C Á
º
³ > Ð ? º 9 Ð ³ C Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C C A > Ô Â Ã 9 º 9 Ð ³ ¿ > ¹ ³ ½ C 9 Ã Ã ³ ½ ³ 9 ¾ ³ > ½ ³ > Ô > È Ç A C ¹ ¾ ³ Ã ? ½ Ã º > ? À º ³ C
Ã
 ¾ ³ ¸ ¸ à ? A Ç ¾ ? à ¡ > 9 ¹ 9 C ? ¸ :  ¾ ³ ¸ ¸ È ½ ³ > º > ? ¹ ³ C ¼ ³ > ¾ ³ C Å ´ µ ¸ Ê ¹ º ¾ 9 ³ î > È Ç A C ¹ ¾ ³ > ´ Ô ³ Á
è
9 ë À ? º 9 Â C 9 : ? ½ Ã º > ? À º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ç ³ ¸ Ñ 9 Ã º À ³ 9 C ³ Ï A Ã Ã ? ¹ ³ : » ¹ ¸ 9 µ Å ¡ ³ C Ã 9 µ º ¸ 9 µ Ã 9 C ¾
Ë
¤ ? À º ³ Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C ³ C ? A Ã ¾ > A µ À Ã Ã º Ê > À ³ > ? ¸ Ã À Â C Ã ³ > Ð ? º 9 Ð ³ Ñ Ã 9 ³ ³ > ¸ ? A ½ ³ C ú ³ ¾ Â µ : ³ 9 Ã º
³
A µ C A > ³ 9 C ³ ¹ ³ > 9 C ¹ ³ > ³ + ³ ¾ A À º 9 Â C ¾ ³ Ã ì A Ã º ? C ¾ Ã > ? A : ³ Ã Å Ï A Ã ¾ 9 ³ Ã ³ C Æ > È C ¾ ³ C ¼ 9 > ¾
?
C ¾ ³ : 9 C Ï ½ Ã µ C 9 º º „ Ð Â > ¹ ³ Ã º ³ ¸ ¸ º ³ C Ì ³ > Ç ? > ³ C ? A µ Ë A C Ê µ Ã º Ð Â C ³ 9 C ³ > Ã º Ê > À ³ > > ³ Á
9
A Ë 9 ³ > ³ C ¾ ³ C Ñ À Â C Ã ³ > Ð ? º 9 Ð ³ C Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C ? A Ã ¹ ³ ¹ ? C ¹ ³ C A C ¾ ¾ 9 ³ Ã ³ ¾ ? C C Ñ Ç ? ¸ ¸ Ã C » º 9 ¹ Ñ
¾
µ > 9 º º ¼ ³ 9 Ã ³ Ë A ³ 9 C ³ > ³ ¤ ? À º ³ C Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C Ð ³ > Ç ³ 9 C ³ > º Å
Ã
: Ë A À ¸ Ê > ³ C Ñ A C º ³ > ¼ ³ ¸ µ ³ C : Ã º Ê C ¾ ³ C ³ 9 C ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ³ Ã è Â ¾ ³ ¸ ¸ ³ 9 C ³ À Â C Ã ³ > Ð ? º 9 Ð ³
½ Ã º > ? À º 9 Â C ³ 9 C ³ Ã ? C ¾ ³ > ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã 9 Ã º Ñ ³ > ¼ ³ 9 Ã º Ã 9 µ ¾ ³ > < ³ ¹ > 9 ¾ ³ > ñ ó ã Þ ö ÷ ó Û ä ¢ ¦
Ï
=(Ŝ,Î, ˆT, ˆP, ˆL)A
M A C ¾ ˆM
9 C · Â > : Ð Â C : ? > À 9 ³ > º ³ C ¢ > 9 Ô À ³ Á
H ⊆ S × Ŝ ó ü ÷ Ý ó ä Ý ñ ó ã Þ ö 3
86
A > C Â µ ¿ ¸ ³ : ³ C º ? > ? A Ã Ã ? ¹ ³ C C ³ ¹ 9 ³ > º ¼ ³ > ¾ ³ C À » C C ³ C A C ¾ À ³ 9 C ³ ¡ Ô ³ > ? º Â > ³ C Ñ ¼ 9 ³ ¾ ? Ã
C
³ 9 é 8 Í C Â µ : » ¹ ¸ 9 µ 9 Ã º Å Ï C Ã Â C Ã º ³ C À » C C º ³ ¾ ³ > ¿ Á ¡ Ô ³ > ? º Â > ¾ A > µ ¿
½
ϕ ≡¬ ¬ϕ
Ï
? A Ã ¹ ³ ¾ > È µ À º ¼ ³ > ¾ ³ C Å
¡ ¢ ¤ ¯ ¦ ¯ « ¨ ¬
¾ ³ Ã À Â C À > ³ º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã Å Ï C ¾ ³ > ³ > Ã ³ 9 º Ã ³ > Ê ¸ º Ã 9 ³ º > Â º Ë Ì ³ > ³ 9 C Ç ? µ A C ¹ ¾ ? Ã µ ? > ? À º ³ > 9 Ã º 9 Á
à µ ³ Ì ³ > ? ¸ º ³ C
¾ 9 ³ : » ¹ ¸ 9 µ ³ C î Ç ? ¾ ³ ê ¾ ³ Ã è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã Ã Â ¼ ³ 9 º ¼ 9 ³ : » ¹ ¸ 9 µ Å < ³ Ã Â C ¾ ³ > Ã
ý õ Ý A ¾ 9 õ ä Ý E ÷ E ä ½ º ? º Â ³ C Å ´ ³ 9 9 : · Â ¸ ¹ ³ C ¾ ³ C ¾ ? Ã ¡ > 9 ¹ 9 C ? ¸ : Â ¾ ³ ¸ ¸
Ý ö ÷ ä C ¾ ³ Û ü à ö ó Ý Ï Ã > À 9 C
9 º :
M ¸ ¸ : 9 º ½ ³ Ë ³ 9 µ C ³ º Å ¿ Ã ¹ 9 ¸ º
ˆM ³ ¾ Â è ³ º À ? > º Ã ½ ? Ã ? ¾ ¾ C A
& % % # X # ) % u I ) X # ) e R ˆM
¤ Ý ó i ÷ Ý ý ö õ ÷ Ý ü ÷ à ö õ ÷ ó Û ä E Û ä
ñ ß Ý ò ó ô õ ö ÷ ó Û ä
L Ý ä ä
å ó Þ ÷ B
φA
& % % # e R I % X ) % u I ) X # ) e R ˆM
¤ Ý ó i ÷ õ Û ä ü Ý à E ö ÷ ó E Ý ü ÷ à ö õ ÷ ó Û ä E Û ä
L Ý ä ä
å ó Þ ÷ B
! % = ( < % #
? ¸ Ã Ã ³ > C È º Ë ¸ 9 µ Å ´ ³ 9 ³ C Ë ¼ ³ 9 è Â ¾ ³ ¸ ¸ ³
´ º > A À º A > ³ C ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C Å ì A C Ê µ Ã º ¼ 9 > ¾ ¾ ³ > < ³ ¹ > 9 ¾ ³ > ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C ¾ ³ ë C 9 ³ > º Å
ˆM
M =(S, I, T, P, L) ä Ü Ý ó ä Ý à ò L Ý ó ÷ Ý ä
(s, ŝ) ∈ H ã ó Þ ÷ B å
& % % # ( t 2 Y X ) e R I % Y X ) e R 6 ó ä Ý Ý Þ ö ÷ ó Û ä
÷ ó Û ä ü à Ý Þ ö ÷ ó Û ä ò L ó ü ¤ Ý ä Ü Ý à 1 à ó ß õ Ý 3 ñ ÷ à ã õ ÷ ã à
1 à ó ß õ Ý 3 ñ ÷ à ã õ ÷ ã à
L Ý ä ä â á à ö Þ Þ Ý