Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

H
‚
H
)
\
‚
s
³ C C ³ 9 C è Â ¾ ³ ¸ ¸ ³ 9 C ? C ¾ ³ > ³ Ã Ã 9 : A ¸ 9 ³ > º Ñ ¹ 9 ½ º ³ Ã Ç È > ú ³ ¾ ³ : » ¹ ¸ 9 µ ³ < ³ > ³ µ C A C ¹ Ã Ç Â ¸ Á
Ö
³ ¾ ³ Ã Ã 9 : A ¸ 9 ³ > º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã ³ 9 C ³ ³ C º Ã Ô > ³ µ ³ C ¾ ³ · Â ¸ ¹ ³ 9 : Ã 9 : A ¸ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Å :
¹
¨
‚
H
\
s
)
‚
s
87
9
L(s) ∩ ˆP = ˆL(ŝ) Ý û ü ö Ü
9 á F Ü ã ä H Ý ÷ à ¡ ä
t T (s, t) ˆt T (ŝ, ˆt) H(t, ˆt) ó ÷ Ý ü Ý ó ä Ý ä û ã ü ÷ ö ä Ü ó ÷ ã ä Ü 9
ó ÷ å
¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C ? ¸ Ã Â ì A Ã º Ê C ¾ ³
Î C 9 C
Ç Â > : ³ ¸ ¸ ½ ³ Ã µ > 9 ³ ½ ³ C : A Ã Ã ³ 9 C ³ ´ 9 : A
s i M º ì A Á : 9 ³ C Ã º 9 C Ê C ¾
ŝ i
ˆM ³ C ¾ 9 ³ ? º Â : ? > ³ C Ï A Ã Ã ? ¹ ³ C
9 C < ³ Ë 9 ³ A C ¹ Ã ³ º Ë ³ C Ñ ½ ³ 9 ¾ ³ C ³ C Ë A : ³ 9 C : A Ã Ã Ç È > ú ³ ¾ ³ C & ? µ Ç Â ¸ ¹ ³ > Ð Â C ? A µ Â
? ³ 9 C
A µ 9 C ¹ C
³ Ð ¸ º ³ C Å Ï C ¾ ³ > ³ > Ã ³ 9 º Ã
ŝ i s i s i
½ ³ 9 ¾ ³ : 9 º ³ 9 C ? C ¾ ³ > 9 C ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C Ã º ³ Á
µ Ç Â ¸ ¹ ³ > Ð Â C
? ³ & 9 Ã º 9 ³ > ³ C Ñ Ã Â ¾ ? Ã Ã
ŝ i
º ¾ 9 ³ ² ³ ë C 9 º 9 Â C ¾ ³ > ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã ³ ¸ ½ Ã º ? A Ç
³ C Å Ï A Ç ¾ 9 ³ ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C ½ ? A
÷ à ã õ ÷ ã à
& # ¢ J ; : A 4 $ ó ä Ý 1 à ó ß õ Ý 3 ñ
ˆM ó % % ã Þ ó Ý à ÷ Ý ó ä Ý ö ä Ü Ý à Ý 1 à ó ß õ Ý 3
ü
ñ ÷ à ã õ ÷ ã à
M M ≼ ˆM Û ä ü à Ý Þ ö ÷ ó Û ä ¤ ò L ó ü Ý ä
Ý & å Ý ü à ó Ý Ý ä ' L ä ä Ý ü Ý ó ä Ý ñ ó ã Þ ö ÷ ó
ã ü ÷ ö ä Ü
ó å ÷ ü Û Ü ö ü ü
)
â á à F Ý Ü Ý ä ¦ ä ó ÷ ó ö Þ ò
M ˆM s 0 ∈ I ŝ 0 ∈ Î ó ÷ ó ö Þ ò ã ü ÷ ö ä Ü ó ÷
H(s ã ä Ü Ý ó ä ¦ ä 0 , ŝ 0 ) ó ü ÷ ó Ý à ÷ 9 Ý ý 1
ˆ1
2
3
ˆ2
ˆ3
4 5
6
ˆ4
ˆ5 ˆ6
M
ˆM
’ © Ž F M
5 F
Z V M x ‹ F O X V a ‹ X a V F K r M X
‰ ‚ ‚
M ≼ ˆM
¸ ? º 9 Â C ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C Å ¿ 9 C ³ ´ 9 : A ¸ ? º 9 Â C Ã > ³ ¸ ? º 9 Â C
Î C Ï ½ ½ Å 9 Ã º ³ 9 C < ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Ç È > ³ 9 C ³ ´ 9 : A
H C ³ > Ç È ¸ ¸ º Ñ 9 Ã º ¾ A > µ î Ç ³ 9 ¸ ³ ? C ¹ ³ ¾ ³ A º ³ º Å
Ñ ¾ 9 ³ ¾ 9 ³ ? C Ã 9 ³ ¹ ³ Ã º ³ ¸ ¸ º ³ C < ³ ¾ 9 C ¹ A C ¹ ³ » ¹ ¸ 9 µ ³ C î Ç ? ¾ ³ ? > ¹ A : ³ C º 9 ³ > º Å
¾ 9 ³ Ã Ë A Ë ³ 9 ¹ ³ C Ñ ¼ 9 > ¾ È ½ ³ > ¾ 9 ³ ú ³ ¼ ³ 9 ¸ Ã :
û L Ý ó . â ö Ü Ý
& # % % A 1 A 4 6 4 6 ¤ S : 6
π =(s 0 ,s 1 ,s 2 ,...) M
ó ä
ó Ý à Ý ä Ü å Ý ä ö ã Ü ö ä ä L Ý ä ä â á à ö Þ Þ Ý
Ý Ü
ä Ý õ ã Û ó à ä à E Ý ü ß Û ä Ü
ˆπ =(ŝ 0 , ŝ 1 , ŝ 2 ,...) ˆM
i ≥ 0 ó ä H(s i , ŝ i ) Þ ÷ * 9
å ó
Ý Þ ÷ Ý
& = = < !
M ≼ ˆM s ŝ H(s, ŝ) Ü ü Ý ó Ý ä ã ä Ü ò Ý ó û ã ü ÷ C ä Ü Ý ó ÷ 9 ö ä ä
ã ä â ö Ü
å ó ÷ Ý ü ò ã F Ý Ü Ý .
π s ˆπ Ü ó Ý à Ý ä Ü Ý ä . â ö Ü ó ÷
ó ÷ ä â ö ä å ü ò ã
L ü ÷ ö ä Ü Ý ó ä Ý ä õ Û à à Ý ü ß Û ä ò ã ü ÷ ö ä Ü
ä â ö ä å ü
ŝ 9
º ³
Ý J L Ý ó ü 9 Æ ³ ¸
H(s, ŝ) π =(s 0 ,s 1 ,s 2 ,...) M 9 ³ 9 C î Ç ? ¾ 9 C : 9 º Ï C Ç ? C ¹ Ã Ë A Ã º ? C ¾
³ Ã Ï C : ¹ C Ã º Ë Ç A Ã 9 º ? ? C ¾
s 0 = s ˆπ =(ŝ 0 , ŝ 1 , ŝ 2 ,...) ˆM ŝ 0 = ŝ
? ¾ 9 C Å ² ? C C À ? C C ³ 9 C î Ç I Ý à ö ä õ Ý à ã ä å * ´ ³ º Ë ³
¾ A > µ Î C ¾ A À º 9 Â C À Â C Ã º > A 9 ³ > º ¼ ³ > ¾ ³ C Å
ŝ 0 = ŝ Ì Â > ? A Ã Ã ³ º Á
Å ? µ º Ë A C ¹ ¹ 9 ¸
H(s 0 , ŝ 0 ) H(s i , ŝ i ) i & ? µ ² ³ ë C 9 º 9 Â C
Å & ñ à ó ÷ ÷ * Æ ³ ¸ º ³ Ç È > ³ 9 C ½ ³ Ã º 9 : : º ³ Ã Å ³ :
¸ º Ç È > ¹ 9 ? A Ã Ã ³ > ¾
s i+1 T (s i ,s i+1 ) ˆt T (ŝ i , ˆt)
Å ² ? ³ > ¹ 9 ½ º ³ Ã C ? µ ² ³ ë º 9 : C 9 ³ ¡ C Â 9 º 9 C A ¾ C
H(s i+1 , ˆt) s i+1 ˆ = ˆt Å ³ Ë º ³ ´ Å