Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

¦
¦
ˆπ 9 C ˆM
C 9 µ º Ë ¼ ? C ¹ Ã ¸ Ê A ë ¹ ³ 9 C ³ C À Â > > ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C î Ç ? ¾ 9 C
M ¹ ³ ½ ³ C
A Ã Ã æ C A > A : ¹ ³ À ³ > º ê Å Ï A Ã ¾ 9 ³ Ã ³ : Æ > A C ¾ ¹ 9 ¸ º 8 ³ Â > ³ : ? A µ C 9 µ º Ç È > é 8 Í Ñ
:
 C ¾ ³ > C C A > Ç È > ¾ ³ > ³ C C º ³ > : ³ C ¹ ³ Ï é 8 Í Å
Ã
ˆM Ñ ¼ ³ ¸ µ ³ Ã ³ 9 C
M C ¹ ³ Ã ³ ³ C ¼ ³ > ¾ ³ C À ? C C Å ² 9 ³ Ã ¸ 9 ³ Ç ³ > º ¾ 9 ³ Æ > A C ¾ ¸ ? ¹ ³ C Ç È > ¾ 9 ³ ? A º Â : ? º 9 Ã µ ³
¢ ? C Ã º > A À º 9 Â C ³ 9 C ³ Ã ? ½ Ã º > ? À º ³ C è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ã ? A Ã ³ 9 C ³ : ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ³ C ¡ > 9 ¹ 9 C ? ¸ : Â ¾ ³ ¸ ¸ Ñ ¾ 9 ³ 9 :
Â
ü ÷ à ö õ ÷ ó Û ä Ð Â C
π 9 C M ? º Å · ? ¸ ¸ Ã ¾ ? Ã Ë A º > 9 º Ñ Ð ³ > ¸ ³ º Ë º M ¹ ³ C ? A Ã Â ¼ 9 ³ ˆM
¾ 9 ³
89
f = Af 1
Å ¿ Ã ¹ 9 ¸ º ¤
Ç È > ? ¸ ³ î Ç ? ¾ ³ : 9 º Ï C ¸ Ç ? C ¹ Ã Ë A Ã º ? C ¾ ¹ 9 ¸ º ¤ ˆM,ŝ |= f Sem.
⇔ ˆπ ŝ ˆM, ˆπ |= f1 .
´ ³ 9
π ³ 9 C ½ ³ ¸ 9 ³ ½ 9 ¹ ³ > î Ç ? ¾ 9 C M : 9 º Ï C Ç ? C ¹ Ã Ë A Ã º ? C ¾ s.
³ ¾ ³ > ¾ 9 ³ Ã ³ > î Ç ? ¾ ³ ? º ³ 9 C ³ C À Â > > ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C î Ç ? ¾ 9 C
Ù
È > ? ¸ ¸ ³ ¾ 9 ³ Ã ³ î Ç ? ¾ ³ ¹ 9 ¸ º ¤
·
ˆM,ˆπ |= f 1 .
? : 9 º ¹ 9 ¸ º C ? µ Î C ¾ Å ù Ä Ô Å ? A µ Ç È > ? ¸ ¸ ³
²
Sem.
⇒ M,s |= f
π : M,π |= f 1 .
ˆM.
¦
´ ³ 9
f = f 1
Ñ
f ³ 9 C ³ î Ç ? ¾ Ç Â > : ³ ¸ A C ¾ f 1
³ 9 C ³ ì A Ã º ? C ¾ Ã Ç Â > : ³ ¸ Å ¿ Ã ¹ 9 ¸ º ¤
æ ¡ ê
ˆM,ˆπ |= f
Sem.
⇔ ˆM, ˆπ 0 |= f 1
Ind.Hyp.
⇒ M,π 0 |= f 1
Sem.
⇒
M,π |= f
´ ³ 9
f = Xf 1
³ 9 C ³ î Ç ? ¾ Ç Â > : ³ ¸ Å ¿ Ã ¹ 9 ¸ º ¤
ˆM,ˆπ |= f
Sem.
⇔ ˆM, ˆπ 1 |= f 1
? ²
Ind.Hyp.
⇒ M,π 1 |= f 1
Sem.
⇒
π A C ¾ ˆπ À Â > > ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C Ñ ¹ 9 ¸ º H(π 1 , ˆπ 1 ).
M,π |= f
´ ³ 9
æ ¦ ê
Ï C ? ¸ Â ¹ Ç È > ¾ ³ C Á ¡ Ô ³ > ? º Â > Å
¿ 9 C < ³ ¼ ³ 9 Ã Ç È > ¾ ³ C ¿ Á ¡ Ô ³ > ? º Â > 9 Ã º ¸ ³ 9 ¾ ³ > C 9 µ º Ë A Ç È > ³ C Ñ ¾ ? ³ Ã Ë A ³ 9 C ³ : ¹ ³ ¹ ³ Á
½ ³ C ³ C
î Ç ? ¾
M Ã 9 : A ¸ 9 ³ > º Ñ 8 ³ Â > ³ : ³ > Ç È ¸ ¸ º A C ¾ ¾ ? : 9 º ? ¸ Ã À Â C Ã ³ > Ð ? º 9 Ð ³ Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C
² 9 ³ ¢ ³ > C ? A Ã Ã ? ¹ ³ ¾ 9 ³ Ã ³ Ã Ï ½ Ã µ C 9 º º 9 Ã º ? ¸ Ã Â Ñ ¾ ? Ã Ã ³ 9 C è Â ¾ ³ ¸ ¸
? C ¾ ³ Á
> ³ Ã è Â ¾ ³ ¸ ¸
Ð Â C
Ç Â ¸ ¹ ³ C ¾ ³ C
Ï ½ Ã µ C 9 º º ½ ³ º > ? µ º ³ º ¼ 9 > ¾ Å
¡ ¢ ¤ ¯ ¦ ¯ « ¨ ¬ ¤ ¡ ® £ ¥ ® ¬ ¡ ¨ ¬ ¨ ­ ¦ ®
² ? Ã Ì ³ > Ç ? > ³ C Ð Â C é ¸ ? > À ³ A C ¾ Æ > A : ½ ³ > ¹ ¢ ¤ ¦ ³ > Ê ¸ º ? ¸ Ã ¿ 9 C ¹ ? ½ ³ ³ 9 C î > Â ¹ > ? : :
P
½ ³ C Å ¿ Ã ¼ ? C ¾ ³ ¸ º
φ ³ C ½ µ C º ¤ C Ï Ã 9 º Å ½ ³ Ã µ > 9 ³ Á
P ¼ M 9 M
9 Ï Ã 9 º Å A ¾ ½ µ C º
¢
¤ ¤ Ô À ³ Á ´ º > A À º A > A : A C ¾ ¹ ³ C ³ > 9 ³ > º ? A Ã
ˆM 9 C ³ 9 C ³ : ? > À 9 ³ > º ³ > 9 Ñ ¾ ? Ã Ã ³ 9 C ³ õ Û ä ü Ý à - ö ÷ ó - Ý
ˆM º ¸ Ê ¼ ³ ¹ Â Ã ¾ > 9 ¼ ³ 9 ´ Å
A C ¾ ³ 9 C ³ Ï é 8 Í Á ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C
M ½ ³ Ë È ¹ ¸ 9 µ ¾ ³ > ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C 9 Ã º æ Ð ¹ ¸ Å Ï ½ Ã µ C 9 º º T Å ê Å Î : Ë ¼ ³ 9 º ³ C
Ë A C Ê µ Ã º ³ 9 C ³ 9 C 9 º 9 ? ¸ ³ Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C
µ > º ¾ ³ Ã Ì ³ > Ç ? > ³ C Ã ¼ 9 > ¾ : 9 º ³ 9 C ³ : è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ô > È Ç A C ¹ Ã ? ¸ ¹ Â > 9 º : A Ã A C º ³ > Ã A µ º Ñ Â ½
´ 9 º
ˆM φ M P
Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C ³ > Ç È ¸ ¸ º Å · ? ¸ ¸ Ã ú ? Ñ ³ > Ç È ¸ ¸ º C ? µ ² ³ ë C 9 º 9 Â C ¨ ? A µ A C ¾ ¾ ? : 9 º ´ ³ 9 ¾
9 ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C Å Î C ¾ 9 ³ Ã ³ : · ? ¸ ¸ À ? C C ¾ ? Ã Ì ³ > Ç ? > ³ C : 9 º Ô Â Ã 9 º 9 Ð ³ : + ³ Ã A ¸ º ? º ½ ³ ³ C ¾ ³ º
¾ ³
> ¾ ³ C Å Ì ³ > ¸ ³ º Ë º
¼ ³
ˆM ˆπ
¾ Â µ ¾ 9 ³ ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C Ñ ¸ 9 ³ Ç ³ > º ¾ ³ > è Â ¾ ³ ¸ ¸ Ô > È Ç ³ > ³ 9 C ³ C î Ç ? ¾ ú ³ Ã Æ ³ ¹ ³ C ½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Å ² ³ ë C 9 º 9 Â C ¨ Ã ? ¹ º ½ ³ 9 ³ 9 C ³ > Ð ³ > ¸ ³ º Ë º ³ C ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C C 9 µ º Ã È ½ ³ >
? ¸
M
ˆπ C ³ C 9 ³
? A Ã Å ² ? ³ > ¼ 9 > ¾ 9 : ¾ > 9 º º ³ C Ì ³ > Ç ? > ³ C Ã Ã µ > 9 º º A C º ³ > Ã A µ º Ñ Â ½ ¾ ³ > î Ç ? ¾
À Â > Á
> ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C î Ç ? ¾