Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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5.4 Definierbarkeit von Bitvektoroperationen in Presburger Z -
Arithmetik
Die um Bitvektoroperationen erweiterte Presburger Z -Arithmetik (kurz: Presburger
Z,Bit -Arithmetik), kann ähnlich wie Presburger N -Arithmetik leicht in S1S
übersetzt werden. Diese Logik ist daher entscheidbar und ihr Entscheidungsproblem
besitzt höchstens nicht elementare Komplexität. Wie aber oben dargestellt,
ist das Entscheidungsproblem der Presburger-Arithmetik in O(2 22n )
lösbar und somit wesentlich einfacher als das Entscheidungsproblem von S1S.
Dieses einfachere Entscheidungsproblem ist einer der Gründe für den Einsatz
von Presburger-Arithmetik. Es ist daher interessant, die Komplexität des Entscheidungsproblems
von Presburger Z,Bit -Arithmetik zu untersuchen.
Zunächst soll betrachtet werden, ob Bitvektoroperationen in Presburger-
Arithmetik definierbar sind. Wären Bitvektoroperationen in Presburger-Arithmetik
definierbar, so besäßen Presburger Z - und Presburger Z,Bit -Arithmetik äquivalente
Ausdruckskraft. Wenn die durch die Definitionen der Bitvektoroperationen
implizierte Übersetzung von Presburger Z,Bit - nach Presburger Z -Arithmetik
mit polynomiellem Aufwand möglich wäre, wäre zudem gezeigt, dass das
Entscheidungsproblem von Presburger Z,Bit -Arithmetik in O(2 22n )lösbar ist. Im
Folgenden soll gezeigt werden, dass Bitvektoroperationen jedoch nicht in Presburger
Z -Arithmetik definierbar sind.
Die Bitvektoroperation NOT kann leicht in Presburger Z -Arithmetik definiert
werden durch
NOT(x) . = z ←→ z . = −(x +1)
Dagegen ist OR nicht definierbar.
Lemma 2. Die Bitvektoroperation OR ist nicht in Presburger Z -Arithmetik definierbar.
Beweis. Angenommen die Bitvektoroperation OR wäre in Presburger Z -Arithmetik
definierbar. Dann ist aber auch das Prädikat Sing Z : Z → B, das gegeben ist
durch
⇔ es gibt ein k ∈ N mit i =2k
in Presburger Z -Arithmetik definierbar durch
(
Sing (x,y,z)
Z
:= ≥ 0 (y) ∧ y ≤ x
∧
∀y ′ . ( ≥ 0 (y ′ ) ∧ y ′ ≤ x ) → OR(x, y ′ ) ≤ OR(x, y) ∧
z = . )
OR(x, y)+1
∀z.Sing (z)
Z
Sing (i)
Z
↔ ∃x, y.Sing(x,y,z)
Z
Sei z eine Zweierpotenz. Dann ist zu zeigen, dass Sing (z)
Z
gilt. Sing (1)
Z
Sing (0,0,1)
Z
Sing (2k−1 ,2 k−1 −1,z)
Z
gilt. Für eine Zweierpotenz z =2 k mit k>0 ist Sing (z)
Z
gilt.
gilt, da
erfüllt, da