Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

8
= ; C >
\ 3
4
5
8
4
P : 9 º ¾ > ³ 9 Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C x, y ∈{0, 1, 2} Ñ reset ∈{True Ñ
False} ¾ ³ 8 ? Ã º Â Ã ¸ » µ À ³ C ? A Ã Ï ½ ½ Å ¤ ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C Å ² 9 ³ è ³ C ¹ ³ ¾ ³ > ? º Â : ? Á
A C ¾ C > C 9 9 C ½ C Ï º Â : ³ æ > ³ C Ï A Ã Ã ? ¹ ³
P {reset = True,x < y,x = y, ¬(y =2), True} Å
µ 9 ³ ¸ ¹ º Ã 9 ê
9 ³ Ï A Ã Ã ? ¹ ³ 9 Ã º Ç È > ¾ 9 ³ Ö ? ¸ ¾ ³ > Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ¹ > A Ô Ô ³ C A C 9 C º ³ > ³ Ã Ã ? C º A C ¾ ¼ 9 > ¾
²
9 µ º ¼ ³ 9 º ³ > ½ ³ º > ? µ º ³ º Å Ì Â C ¾ ³ C > ³ Ã º ¸ 9 µ ³ C Ï A Ã Ã ? ¹ ³ C 9 C º ³ > Ç ³ > 9 ³ > ³ C
C
³ Ï Ã A ³ º º ³ C Ë ¼ ³ 9 · Â > : ³ ¸ ¹ > A Ô Ô ³ C
Ð C ½ µ ¸ þ C Ã ³
FG 1 = {x 9 ? ½ ¸ ³ C ½ 9 ¸ ¾ ³ C ú ³ ¼ ³ 9 ¸ Ã ¾ 9 ³
VG Å VG ² 9 ³ 9 C ¾ ³ C 1 = {x, y} VG 2 = {reset} A C ¾ Å Î : ½ ³ º > ? µ º ³ º ³ C
º ¸ 9 ¹ Â Ã ¸ ? Ñ
A C ? ¾ ½ ½ ¸ ³ º Ñ ¼ Â ½ ³ 9
¹ ³ 9 ¾
h 1 h 2
³ º C ³ 9 ¸ Ã ¸ 9 ¹ Å
h 2 : D reset → ̂D reset
8
D =(D x × D y × D reset ) A > µ Ë ¼ ³ 9
h ¾ 1 : D x × D y → ̂D ³ 9 C ³ Ë ¼ ³ 9 Ã º ³ ¸ ¸ 9 ¹ ³
xy
% % < ( &
§
9 < % # % # & ? µ ¾ ³ : ¾ 9 ³ ´ 9 ¹ C ? º A > ³ C ¾ ³ > Ï ½ Ã º > ? À º 9 Â C Ã Ç A C À Á
¤
9 Â C ³ C Ç ³ Ã º ¹ ³ ¸ ³ ¹ º Ã 9 C ¾ Ñ ¼ ³ > ¾ ³ C ¾ 9 ³ · A C À º 9 Â C ³ C Ã ³ ¸ ½ Ã º ½ ³ Ã º 9 : : º Å < ³ 9 ¾ ³ > 9 C 9 º 9 ? ¸ ³ C
º
½ Ã º > ? À º 9 Â C ¼ ³ > ¾ ³ C Ë A C Ê µ Ã º ? ¸ ¸ ¾ 9 ³ ú ³ C 9 ¹ ³ C Ö ³ > º ½ ³ ¸ ³ ¹ A C ¹ ³ C ³ 9 C ³ > Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ¹ > A Ô Á
Ï
³ ? A Ç ³ 9 C ³ C ³ 9 C Ë ³ ¸ C ³ C ? ½ Ã º > ? À º ³ C Ö ³ > º ? ½ ¹ ³ ½ 9 ¸ ¾ ³ º Ñ ¾ 9 ³ : 9 º ¾ ³ C Ï A Ã Ã ? ¹ ³ C 9 C ¾ ³ >
Ô
 > > ³ Ã Ô Â C ¾ 9 ³ > ³ C ¾ ³ C ·  > : ³ ¸ ¹ > A Ô Ô ³ ä ó ÷ ã ä ÷ Ý à ü ó Ý Ü Ý ä ¼ ³ > ¾ ³ C À » C C ³ C Å ·  > : ? ¸ ½ ³ Á
À
µ > 9 ³ ½ ³ C ³ 9 þ º ¾ ? Ã
Ã
9 ³ Î ¾ ³ ³ 9 C º ³ > ¾ 9 ³ Ã ³ : Ï C Ã ? º Ë 9 Ã º Ñ ¾ ? Ã Ã ¾ 9 ³ ì A Ã ? : : ³ C Ç ? Ã Ã A C ¹ ? A Ç ¾ 9 ³ Ã ³ Ö ³ 9 Ã ³ À ³ 9 C ³ C
²
9 C A þ ? A Ç ¾ ³ C ¢ Â C º > Â ¸ ¸ A þ ¾ ³ Ã î > Â ¹ > ? : : Ã ? ½ ³ C À ? C C Å ´ µ ¸ 9 ³ þ ¸ 9 µ À » C C ³ C ¾ 9 ³
¿
C ¾ ³ C < ³ ¾ 9 C A C ¹ A C ¹ ³ C ¾ ³ > 8 > ? C Ã 9 º 9 Â C Ã ½ ¸ » µ À ³ ? C ¹ ³ ¹ ³ ½ ³ C ³ C Ï A Ã Ã ? ¹ ³ C ¾ 9 ³ ³ 9 C Ë ³ ¸ C ³ C
9
³ > º ³ ¹ ? > C 9 µ º A C º ³ > Ã µ ³ 9 ¾ ³ C Å Ï A µ ¾ 9 ³ ´ Ô ³ Ë 9 ë À ? º 9 Â C À ? C C ¾ 9 ³ Ë A Ã ? : : ³ C ¹ ³ Ç ? Ã Ã º ³ C
Ö
Ý ü ó Þ 9 ² ? Ã î > Â ¹ > ? : : ? A Ã < ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ ³ C º Ê ¸ º ¼ 9 ³ ½ ³ > ³ 9 º Ã ¹ ³ Ã µ 9 ¸ ¾ ³ > º Ë ¼ ³ 9 Ì ? > 9 ? Á
J ó ß Ý ¡
½ Ë ¼ Å · Â > : ³ ¸ ¹ > A Ô Ô ³ C Å Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ¹ > A Ô Ô ³
½ ¸ ³ C Á
1 x y à º ¾ 9 ³ Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C A C ¾ Ñ ¾ 9 ³
1 A {x ¹ 9 ½ º Ã 9 µ Ñ ¾ ? Ã
Ê º C ³
(0, 0) A C ¾ (1, 1) ? A Ç ¾ ³ C Ã ³ ¸ ½ ³ C ? ½ Ã º > ? À º ³ C
¹ ¸ ³ 9 µ
FG 1
∀f ∈ FG 1 :(0, 0) |= f ⇔ (1, 1) |= f C Ã ¹ ³ Ã ? : º ³ > ¹ ³ ½ ³ C Ã 9 µ ¡
Î Å
¢ ¸ ? Ã Ã ³ C Ð Â C Ö ³ > º ³ C Ñ ¾ 9 ³ ? A Ç ¾ 9 ³ ? ½ Ã º > ? À º ³ C Ö ³ > º ³
4
ê
92
/ . 1 3 x4 5 7 0
.
8 9 1 3 x4 5 7 ; = >
8 /
/ . 1 3 y4 5 7 1
.
8 9 1 3 y4 5 7 ; = >
8 /
/ . 1 3
reset4 5 7 0
.
8 9 1 3
reset4 5 7 ; = >
8 /
True5
5
5
reset = 0
x
5 0 … 1
x
y
reset
> = ; C
H \ V M \ ‚ _ F
3 H
H \ V M \ ‚ _ F
H \ V M \ ‚ _ F
3 ‚
‰ ‚ ‚ ’
F M O x M F _ x V w | V \ r r r M X s V F M H \ V M \ ‚ _ F K
J Ý ó ü ß ó Ý Þ 9 ´ ³ 9 ³ 9 C î > Â ¹ > ? : :
x Ñ ¾ ? Ã 9 ³ ¹ ³ : ³ 9 C Ã ? : ³ Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ³ C º ? ¸ º ³ C Å ² A > µ º > ? C Ã 9 º 9 Á
A C ¾
Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ¹ > A Ô Ô ³ C
· ? ¸ ¸ ¼ 9 > ¾ Ç Â ¸ ¹ ¸ 9 µ ³ 9 C î > Â ¹ > ? : : Ë A Ã º ? C ¾ ? A Ã
8 ³ 9 ¸ Ç A C À º 9 Â C ³ C
· A C À º 9 Â C 9 Ã º A C ¾
h i (d 1 ,...,d k )=h i (e 1 ,...,e k ) ⇔∀f ∈ FG i :(d 1 ,...,d k ) |= f ⇔ (e 1 ,...,e k ) |= f
æ
ì A Ã º Ê C ¾ ³
C 9 µ º Ð Â C ³ 9 C ? C ¾ ³ > A C º ³ > Ã µ ³ 9 ¾ ³ C Å
· Â > : ³ ¸ ¹ > A Ô Ô ³
½ ³ 9 Ã Ô 9 ³ ¸ Ã ¼ ³ 9 Ã ³ ¾ 9 ³ Ì ? > 9 ? ½ ¸ ³ C ½ ³ ¸ ³ ¹ A C ¹ ³ C
Ö ³ > º ? ½ ¹ ³ ½ 9 ¸ ¾ ³ º ¼ ³ > ¾ ³ C Ñ ¾ ? Ã 9 ³ Ã 9 µ ½ ³ Ë È ¹ ¸ 9 µ ¾ ³ > Ï A Ã Ã ? ¹ ³ C 9 C
Ð ³ > ? ¸ Á
º ³ C Ñ ¾ Å Å ³ Ã ¹ 9 ¸ º
ˆ0, ˆ1, ˆ2, ˆ3, ˆ4 ? ½ ¹ ³ ½ 9 ¸ ¾ ³ º ¼ ³ > ¾ ³ C Å
² ? ³ > ¼ 9 > ¾
? ¸ Ã ¾ 9 ³ Ç Â ¸ ¹ ³ C ¾ ³ Ã A > ú ³ À º 9 Ð ³ Ï ½ ½ 9 ¸ ¾ A C ¹ ¾ ³ ë C 9 ³ > º
h 1
{(0, 0), (1, 1)} → ˆ0 Ñ
Ñ
{(0, 1)} → ˆ1
{(0, 2), (1, 2)} → ˆ2
{(1, 0), (2, 0), (2, 1)} →ˆ3
{(2, 2)} → ˆ4