Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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den Blättern (den zu den Variablen zugehörigen Zustandsmengen) – diese wieder,
im Syntaxbaum aufsteigend, zusammengefügt.
Bei lokaler Modellprüfung wird hingegen nach dem top–down–Prinzip vorgegangen.
Dies ist möglich, weil sich die grundlegende Anforderung an eine lokale
Modellprüfung von der an eine Globale unterscheidet. Anstatt der Frage nachzukommen,
in welchen Zuständen die gegebene Formel erfüllt ist, wird die Formel
auf einen bestimmten Zustand, bzw. eine bestimmte Zustandsmenge begrenzt.
Das heißt im Klartext, dass die lokale Modellprüfung die Frage
Wird die gegebene Formel ϕ in der gegebenen Zustandsmenge Z ⊆S
erfüllt?
beantwortet. Es muss jetzt also nicht mehr zwingend notwendig sein, alle Zustände
im Zustandsraum zu betrachten. Eventuell reicht auch eine echte Teilmenge aus,
um diese Frage zu beantworten.
Genau an dieser Stelle offenbart sich der Vorteil der lokalen Modellprüfung.
Da der Syntaxbaum top–down durchlaufen wird, kann es sein, dass komplette
Teilbäume überhaupt nicht zur Problemlösung betrachtet werden müssen (lazy
evaluation).
Ein weiterer Vorteil – neben der Zeitersparnis durch den geringeren Rechenaufwand
– ergibt sich bei Systemen mit unendlichen Zustandsräumen. Durch
die bedarfsmäßige Auswertung der Subformeln kann es sein, dass die unendliche
Menge von Zuständen auf eine ausreichende endliche Menge begrenzt wird.
Der für die Prüfung benötigte Syntaxbaum wird auch als ”Proof–Tree“ bezeichnet.
Dieser entsteht durch syntaxorientierte Dekompositionsregeln. Auch
hier sollen wieder Kripke-Strukturen und µ–Kalkül–Formeln für die grundlegende
Beschreibung dienen. Die Reduktionsregeln für lokale Modellprüfung von
µ–Kalkül–Formeln lauten:
s ⊢ Φ ϕ ∧ ψ
(1)
s ⊢ Φ ϕ s ⊢ Φ ψ ∧ (2) s ⊢ Φ ϕ ∨ ψ
s ⊢ Φ ϕ s ⊢ Φ ψ ∨
s ⊢ Φ □ϕ
(3)
s 1 ⊢ Φ ϕ...s n ⊢ Φ ϕ ∧ (4) s ⊢ Φ ♦ϕ
s 1 ⊢ Φ ϕ...s n ⊢ Φ ϕ ∨
← ←
s ⊢ Φ □ϕ
(5)
s ′ 1 ⊢ Φ ϕ...s ′ n ⊢ Φ ϕ ∧ (6) s ⊢ Φ ♦ ϕ
s ′ 1 ⊢ Φ ϕ...s ′ n ⊢ Φ ϕ ∨
(7) s ⊢ Φ µx.ϕ
s ⊢ Φ ϕ
s ⊢ Φ x
(9)
s ⊢ Φ D Φ (x)
(8) s ⊢ Φ νx.ϕ
s ⊢ Φ ϕ
Abbildung 9. Reduktionsregeln für lokale Modellprüfung im µ–Kalkül