Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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konstruieren. Damit kann zu jeder L ω -Formel wahlweise ein äquivalenter Büchioder
Street-Automat konstruiert werden. Das Entscheidungsproblem für Büchiund
Street-Automaten ist in O(2 3n )lösbar, wobei n die Anzahl der Zustände
des entsprechenden Automaten ist.
Wesentlich komplexer als das Entscheidungsproblem ist die Konstruktion
der Büchi- bzw. Street-Automaten aus beliebigen L ω -Formeln. Die Konstruktion
flacher Automaten-Formeln im Allgemeinen und damit die Konstruktion
von Büchi- oder Street-Automaten im Speziellen besitzt nicht elementare Komplexität.
Das heißt es existiert keine Konstante i ∈ N, so dass die Komplexität
des Problems O(f i (n)) beträgt, wobei f i gegeben ist durch f 0 (n) := n
und f i+1 (n) :=2 fi(n) . Problematisch bei dieser Konstruktion sind verschachtelte
Automaten-Formeln der Form A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R , A ∀ (V ′ S ,ϕ ′ I ,ϕ′ R ,ϕ)). Zur Konstruktion
einer äquivalenten flachen Automaten-Formel wird nämlich ein zu
A ∀ (V ′ S ,ϕ ′ I ,ϕ′ R ,ϕ) äquivalenter, deterministischer ω-Automat konstruiert. Diese
Determinisierung kann zu einem exponentiellen Anstieg der Anzahl der Zustände
führen.
Det F
Det GF
Det Rabin
Det Präfix
NDet GF
≈
Det Street
Det G
Det FG
NDet Rabin
≈
≈
NDet G
NDet F
NDet Street
≈
NDet Präfix
NDet GF
≈
≈
≈
≈
≈
NDet FG
Abb. 4: Hierarchie der ω-Automaten
2 S1S und MSO <
2.1 Monadic Second Order Logic of One Successor (S1S)
Definition 12 (Monadic Second Order Logic of One Successor (S1S)).
Die Logik S1S ist die Prädikatenlogik zweiter Stufe mit Gleichheit über den
natürlichen Zahlen, die
– die beiden Funktionssymbole 0 und SUC
– keine Prädikatssymbole
– beliebig viele Variablen x erster Stufe, also des Typs x :→ N