Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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vorkommt, andernfalls als lokal. Ein Literal bezeichnet man als global (lokal), wenn
die Variable, die es enthält global (lokal) ist. Des weiteren bezeichnen wir mit g(c) die
Disjunktion aller globalen Literale einer Klausel c und mit l i (c) die Disjunktion aller
Literale einer Klausel c, die lokal in C i sind.
Definition -Wiederlegung:
Eine -Wiederlegung von C ist eine indizierte Menge von booleschen
Formeln {p 1 ,...,p n }, so dass:
jedes p i ist impliziert von C i (C i => p i )
die Konjunktion ist unerfüllbar
i
p i
jedes p i bezieht sich ausschließlich auf globale Variablen (in
Bezug auf )
Definition Pivotvariable:
Sei P ein Beweis der Unerfüllbarkeit der Klauselmenge C und c V P ein
Konten der keine Wurzel ist, mit den Vorgängern c 1 und c 2 , dann ist die
Pivotvariable von c die eindeutige Variable v für die gilt:
c 1 beinhaltet v und c 2 beinhaltet v, oder
c 1 beinhaltet v und c 2 beinhaltet v.
Haben wir nun einen Beweis P, dass C nicht erfüllbar ist, möchten wir daraus eine
-Wiederlegung ableiten. Dies kann in linearer Zeit mit Hilfe einer einfachen
Vorschrift gemacht werden:
Definition Beweispartitionierung (P):
Sei P ein Beweis der Unerfüllbarkeit der Klauselmenge C, und sei
= {C 1 ,...,C N } eine indizierte Partitionierung von C, dann ist (P) =
{p 1 ,...,p n } so dass für alle Knoten c V P gilt:
wenn c Wurzel ist, dann
- wenn c C i dann p i (c) = g(c),
- sonst p i (c) = true.
sonst, wenn v die Pivotvariable von c ist und c 1 und c 2 die
Vorgänger von c sind:
- wenn v lokal zu C i ist, dann p i (c) = p i (c 1 ) p i (c 2 ),
- sonst p i (c) = p i (c 1 ) p i (c 2 ).
Theorem -Wiederlegung:
Sei P ein Beweis der Unerfüllbarkeit der Klauselmenge C mit der Wurzel r
(die eine leere Klausel ist), und sei = {C 1 ,...,C N } eine indizierte
Partitionierung von C, sei {p 1 (r),...,p n (r)} die Menge der Formeln, dann ist
(P) = {p 1 ,...p n } eine -Wiederlegung von C.