Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

165
indem neben ω-Automaten die Akzeptanzbedingung aus einfachen Prädikaten
auf unendlichen Wörtern bestehen darf. Aus diesen Überlegungen ergibt sich die
Sprache L ω der Automaten-Formeln:
Definition 6 (L ω ). Für eine gegebene Menge von aussagenlogischen Variablen
V Σ sei die Menge der Automaten-Formeln L ω über V Σ die kleinste Menge mit:
– v ∈L ω für alle v ∈V Σ
– mit ϕ ∈L ω gilt auch ¬ϕ ∈L ω
– mit ϕ, ψ ∈L ω gilt auch ϕ ∧ ψ ∈L ω
– mit ϕ ∈L ω gilt auch Fϕ ∈L ω
– A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ) ∈ L ω ,falls
•V S eine zu V Σ disjunkte Menge von aussagenlogischen Variablen ist
• ϕ I eine aussagenlogische Formel über V S ist
• ϕ R eine aussagenlogische Formel über V S ∪V Σ ∪{Xv | v ∈V S } ist
• ϕ eine L ω Formel über V S ist
Besitzt eine Automaten-Formel A die Form A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ), wobeiϕ keine
weiteren Formeln dieser Gestalt enthält, so heißt A flache Automaten-Formel.
Definition 7 (Semantik von L ω ). Sei α : N → 2 VΣ ein unendliches Wort
und ϕ eine L ω Formel über V Σ .Dannseifür i ∈ N die Aussage (α, i) |= ϕ
(Sprechweise: ϕ akzeptiert α im Schritt i) definiert durch:
– (α, i) |= v gdw. v ∈ α (i)
– (α, i) |= ¬ϕ gdw. nicht (α, i) |= ϕ
– (α, i) |= ϕ ∧ ψ gdw. (α, i) |= ϕ und (α, i) |= ψ
– (α, i) |= Fϕ gdw. es existiert ein k ∈ N mit k ≥ i und (α, k) |= ϕ
– (α, i) |= A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ) gelte genau dann, wenn es einen Durchlauf β :
N → 2 VS von α ′ – gegeben durch α ′(x) := α (x+i) – durch den durch V Σ , V S ,ϕ I
und ϕ R kodierten Semiautomaten mit (β,0) |= ϕ gibt.
Eine L ω Formel ϕ über V akzeptiert ein unendliches Wort α : N → 2 V
(Schreibweise: α |= ϕ) genau dann, wenn (α, 0) |= ϕ gilt.
Definition 8 (Äquivalenz von L ω -Formeln). Zwei L ω -Formeln A und B
über einem gemeinsamen Variablenmenge V Σ heißen genau dann äquivalent
(Schreibweise: A ≈ B), wenn für alle unendlichen Wörter α über 2 VΣ genau
dann α |= A gilt, wenn α |= B gilt.
Definition 9(Abkürzungen von L ω Formeln). Um L ω Formeln kompakter
und leichter lesbar darstellen zu können, sollen Abkürzungen eingeführt werden.
In den folgenden Abkürzungen seien ϕ und ψ jeweils beliebige L ω Formeln:
– ϕ ∨ ψ := ¬(¬ϕ ∧¬ψ)
– ϕ → ψ := ¬ϕ ∨ ψ
– ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)