Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Auch Zustandsmengen (bzw. Kripke-Strukturen) lassen sich als aussagenlogische
Formeln, und damit auch als [RO]BDDs darstellen. Zur Veranschaulichung
diene folgendes kleines Beispiel:
a
b
c ac
⎛
⎞
a ∧¬b ∧¬c ∧¬a ′ ∧¬b ′ ∧ c ′ ∨
a ∧¬b ∧¬c ∧ a ′ ∧¬b ′ ∧ c ′ ∨
R =
⎜ a ∧¬b ∧ c ∧¬a ′ ∧¬b ′ ∧ c ′ ∨
⎟
⎝ ¬a ∧ b ∧¬c ∧ a ′ ∧¬b ′ ∧ c ′ ∨ ⎠
¬a ∧¬b ∧ c ∧ a ′ ∧¬b ′ ∧ c ′
Abbildung 5. Kripke-Struktur und zugehörige aussagenlogische Formel
Ein Zustand wird (ähnlich wie bei der Überführung eines Automaten in eine
Kripke-Struktur) durch seine ausgehenden Kanten beschrieben. Hierbei werden
die Labels des Zielzustandes besonders gekennzeichnet, damit diese nicht fälschlicherweise
wegreduziert werden. In diesem Beispiel sind Zielzustandsmarkierungen
mit einem ′ gekennzeichnet.
R ist hier komplett ”ausgeschrieben“, um das Verfahren zu verdeutlichen. In
der aussagenlogischen Formel sind also viele veroderte Transitionen, welche aus
der Verundung aller Quell- und Ziellabel bestehen.
Rechentechnisch bedeutet dies, dass die Transitionen, die vom Zustand X
(z.B. a ∧ b ∧¬c) ausgehen, einfach durch
Q = R∧X
gefunden werden können. Auf den Vorgang des Reduzierens soll allerdings an
dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden, da es genügend Arbeiten gibt, die
dieses Thema sehr detailliert behandeln. Die eigentlichen Berechnungen, die hier
verwendet werden, sind unabhängig davon, ob es sich um einen klassischen BDD
oder einen ROBDD handelt. Einzig die Ausführungsgeschwindigkeit würde von
Letzterem profitieren.
Neben der Berechnung von Transitionen eines Zustandes lassen sich mit diesen
Strukturen auch die Vorgänger- und Nachfolgermengen berechnen. Dazu sei
die Schreibweise für eine Substitution wie folgt vereinbart:
[Φ] a b
Dies bedeutet: Alle Vorkommen von b in Φ werden durch a ersetzt.
Vorgängerberechnung
Sei Φ Q eine aussagenlogische Formel, welche die Zustandsmenge Q repräsentiert.
Zur Vereinfachung soll Q nur einen einzigen Zustand aus Abbildung 5 beschrei-