Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

102
als Hilfsmittel auf ATPG-Probleme übertragen. ATPG-Implikationsgraphen erlauben
die Bildung von Konfliktschaltungen, die eine Analogie zu Konfliktklauseln
bei SAT-Implikationsgraphen bilden. Die Konfliktschaltungen können zum
einen in das Gatternetzwerk aufgenommen werden (Lernen), zum anderen auch
Grundlage für die Belegung der Leitung sein.
Im Appendix werden Begriffe aus der Komplexitätstheorie, bekannte SAT-
Solver und die grundlegenden Regeln des Davis-Putnam-Verfahrens vorgestellt.
2 SAT – Das Erfüllbarkeitsproblem
Das SAT-Problem (engl. SATisfiability Problem) beschreibt die Erfüllung einer
aussagenlogischen Gleichung. Das Problem ist NP-vollständig (siehe dazu Abschnitt
A). Es war das erste Problem, dessen NP-Vollständigkeit (1971 von Cook
[2]) bewiesen wurde.
Anwendungsbereiche Die Anwendungsbereiche des SAT-Problems gliedern sich
in zwei Gebiete. Zum einen wird es in der klassischen künstlichen Intelligenz für
wissensbasierte Systeme und zur Beweisführung und -findung verwendet. Zum
anderen wird es im Bereich der Electronic Design Automation (EDA) im Entwurf
und beim Testen (siehe Abschnitt 3) angewandt.
Formalisierung Eine gegebene aussagenlogische Gleichung ϕ besteht aus n Variablen
x 1 ,...,x n , die mit Operationen verknüpft werden. Jeder der Variable
kann einen Wert annehmen, im einfachsten Fall 0 (falsch) oder 1 (wahr), wovon
im Folgenden stets ausgegenangen wird. Als Operationen stehen die Negation,
Konjunktion und Disjunktion zur Verfügung.
Mansprichtvonderkonjunktiven Normalform (KNF), wenn eine Gleichung
ϕ aus m Klauseln über n Variablen x 1 ,...,x n besteht. Eine Klausel setzt sich zusammen
aus einer Menge von Literalen, die disjunktiv (Operatorzeichen + bzw.
∨) verbunden werden. Diese Literale sind Variablen in ihrer positiven (x i )bzw.
negativen (¬x i )Form 1 . Die Klauseln werden untereinander konjunktiv (Operatorzeichen
· bzw. ∧) verknüpft.
Klausel
{ }} {
Literal
{}}{
ϕ = (x 1 + ¬x 3 ) · ( ¬x
}{{} 2 + x 3 ) (1)
Literal
Gesucht ist eine Belegung A = (a 1 ,...,a n ) ∈ {0, 1} n für die Variablen
x 1 ,...,x n , sodass alle Klauseln erfüllt werden. Kann keine Belegung gefunden
werden, ist die Gleichung ϕ nicht erfüllbar.
Die Gleichung ϕ kann als Funktion f(x 1 ,...,x n ) dargestellt werden. Bei einer
gültigen Belegung liefert die Funktion den Wert 1 zurück, andernfalls den Wert
0.
1 Alternative Schreibweisen stellen die Negation mit einem Querstrich über der Variablen
(x i) oder mit einem Apostroph (x ′ i)dar.