Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Substitution
Da Variablen für beliebige konkrete Werte stehen ist es sinnvoll, diese durch
Terme substituieren zu können. Zum Beispiel bedeutet
x ∨ y[a ∨ b/y]
”Ersetze im Term x ∨ y das y durch a ∨ b“. Also ergibt sich:
x ∨ a ∨ b
Wenn nun aber beispielsweise in der Aussage
∃x.x = y
folgende Substitution durchgeführt werden soll, entsteht das Ergebnis
∃x.x = y[x +1/y] ⇐⇒ ∃x.x = x +1
welches für jedes x ∈ R offensichtlich falsch ist. Der Grund des aus einer korrekten
Aussage hervorgegangenen Widerspruchs liegt im Geltungsbereich des
∃–Quantors. Bei dieser Substitution ist das ”neue“ x, welches im Term x + 1 eine
freie (da nicht gebunden) Variable war, in den Bindungsbereich des Quantors
gelangt und wurde von diesem gebunden.
Bei einer zulässigen Substitution darf daher eine freie Variable nicht gebunden
werden. Sollte also ein solcher Konflikt auftreten, dann muss die (noch)
freie Variable durch eine, noch nicht im zu substituierenden Term vorhandene,
Variable ersetzt werden:
∃x.x = y[x +1/y] ⇐⇒ ∃x.x = y[t +1/y] ⇐⇒ ∃x.x = t +1
Dies ist eine gültige Substitution und ändert in diesem Fall auch nichts an der
Erfüllbarkeit der Formel. Man sagt daher:
Eine Substitution A[t/x] ist zulässig gdw. t ist frei für x in A.
3.3 µ–Kalkül
Das µ–Kalkül ist eine Möglichkeit zur Beschreibung von Bedingungen, bzw. Anforderungen
auf Zuständen. Es kann sowohl modal als auch temporal betrachtet
werden – abhängig vom System, dessen Beschreibung/Modell näher untersucht
werden soll.
Es geht somit prinzipiell um die Betrachtung von Abläufen – ungeachtet
dessen, ob diese zeitlich oder modal (〈lat.〉 die Art und Weise bezeichnend) beschrieben
werden. Hierbei sind natürlich Vorgänger und Nachfolger von essentieller
Bedeutung. Definiert werden diese Vorgänger- und Nachfolgermengen wie
folgt:
Definition: Gegeben sei eine Relation R⊆S 1 ×S 2 . Die existenziellen
und universellen [Ur-]Bilder der Mengen Q 1 ⊆S 1 und Q 2 ⊆S 2 werden