Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Ein logischer Schaltkreis kann auch eine aussagenlogische Gleichung darstellen.
Neben der eigentlichen Gleichung enthält der Schaltkreis strukturelle Informationen
wie z. B. die Richtung von Leitungen. Die Umwandlung eines Schaltkreises
in eine SAT-Gleichung ist trivial und wird in Abschnitt 3.1 beispielhaft
gezeigt.
2.1 Exakte Lösungsverfahren
Für viele Probleme in P sind bereits effiziente Algorithmen bekannt. Dagegen
sind NP-vollständige Probleme nur schwer zu lösen. Es wird angenommen, dass
es für diese Probleme keine effizienten Algorithmen gibt.
Es gibt verschiedene Ansätze NP-vollständige Probleme zu bearbeiten. Diese
Ansätze kann man in zwei Kategorien einteilen: Exakte (vollständige) Verfahren
untersuchen alle möglichen Lösungen und finden beweisbar eine optimale
Lösung, falls diese existiert. Bei Erfüllbarkeitsproblemen ist andernfalls die Unerfüllbarkeit
gezeigt. Durch die Betrachtung des gesamten Lösungsraums 2 brauchen
diese Verfahren i. A. viel Zeit und Speicher. Lokale Suchverfahren dagegen
betrachten nur einen Teil des Lösungsraums und können in Bezug auf das SAT-
Problem nur Erfüllbarkeit, aber nicht die Unerfüllbarkeit zeigen. Für Optimierungsprobleme
(z. B. TSP) können diese heuristischen Verfahren aber innerhalb
kurzer Zeit fast-optimale Lösungen finden, die für praktische Anwendungen gut
genug sind.
Im Nachfolgenden wird der Schwerpunkt auf exakte Verfahren für das SAT-
Problem gelegt.
Vollständige Verfahren für das SAT-Problem lassen sich in drei Vorgehensweisen
einteilen. Neben den deduktiven Verfahren, die mit logischem Schließen
dieExistenzeineLösung beweisen, gibt es enummeriende Algorithmen, die alle
möglichen Lösungen untersuchen. Als dritte Art gibt es die auf einer funktionalen
Repräsentation (z. B. Graphen) arbeitenden Verfahren.
Deduktive Algorithmen Deduktive Algorithmen leiten die Existenz einer Lösung
durch logisches Schließen her. Die Art von Algorithmen werden auch in der
klassischen” künstlichen Intelligenz [3] eingesetzt.
”
Davis-Putnam Bei dem Resolutionsverfahren von Davis und Putnam (DP) [4]
werden die logischen Konsequenzen aus einer Klauselmenge berechnet. Dabei
werden ausgehend von der ursprünglichen Klauselmenge zwei Elternklauseln gewählt,
die ein Literal jeweils komplementär (im Beispiel x 3 ) besitzen. Im Resolutionsschritt
wird eine neue Klausel erzeugt, die aus den beiden Elternklauseln
ohne das gewählte Literal besteht (Abbildung 1(a)). Die neu erzeugte Klausel
wird in die Klauselmenge hinzugefügt. Falls eine leere Klausel hergeleitet werden
kann, ist die Instanz nicht erfüllbar.
Das Davis-Putnam-Verfahren kann schlimmstenfalls exponentiell viel Speicher
und Zeit benötigen. Es gibt verschiedene Erweiterungen, die in Abschnitt C
und [3] aufgeführt sind.
2 Durch Optimierung können aber Teile des Lösungsraums ausgeblendet werden.