Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

1.3 Automatenformeln
Sei A =(Σ,S, I, R) ein Semiautomat. Da sowohl das Alphabet Σ, alsauch
die Menge der Zustände S endlich ist, können sie jeweils durch eine endliche
Menge von aussagenlogischen Variablen kodiert werden. Sei also Σ =2 VΣ mit
V Σ = {i 0 ,...i n }.AnalogseiS =2 VS mit V S = {q 0 ,...q m }. Damit sind Zustände
Teilmengen von V S und Buchstaben Teilmengen von V Σ . Man kann solche Teilmengen
einer Menge V von aussagenlogischen Variablen als Belegung interpretieren,
die alle in der Menge vorkommenden Variablen mit TRUE und alle nicht
vorkommenden Variablen mit FALSE belegt. Damit lassen sich Mengen solcher
Teilmengen, also z. B. die Menge I der Initialzustände, durch eine aussagenlogische
Formel ϕ kodieren, indem die Menge der Belegungen betrachtet wird, die
ϕ erfüllen.
Beispiel 3. Sei A =(Σ,S, I, R) der Semiautomat aus Beispiel 1, also der Semiautomat
mit:
– Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
– S = {s 0 ,s 1 ,s 2 }
– I = {s 0 }
– R = {(s i ,j,s k ) | i + j ≡ k mod 3}
Dann lassen sich die 10 Buchstaben von Σ durch 4 aussagenlogische Variablen
i 0 ,i 1 ,i 2 und i 3 kodieren. Dabei soll die Binärdarstellung der Ziffern verwendet
werden. Z. B. entspricht 6 der Menge {i 1 ,i 2 } oder 9 der Menge {i 0 ,i 3 }.Die3
Zustände von A lassen sich durch 2 Variablen q 0 und q 1 kodieren. s 0 werde durch
∅, s 1 durch {q 0 } und s 2 durch {q 1 } kodiert. Mit diesen Setzungen wird I durch
die Formel ¬q 0 ¬q 1 kodiert.
Es fällt auf, dass durch die Kodierung zusätzliche Buchstaben (10, 11 ...15)
und zusätzliche Zustände ({q 0 ,q 1 }) entstehen. Betrachtet man jedoch nur Wörter
über dem ursprünglichen Alphabet und garantiert durch die Transitionsrelation,
dass keine zusätzlichen Durchläufe existieren, so führt dies zu keinen Problemen.
Auch die Transitionsrelation lässt sich durch eine aussagenlogische Formel ϕ
kodieren. Dazu wird für jede Zustandsvariable q eine neue Variable eingeführt,
die in Anlehnung an Schreibweisen aus der Temporallogik mit Xq bezeichnet
wird. Für zwei Zustände s 1 ,s 2 ⊆ V S und einen Buchstaben σ ⊆ V Σ gelte
(s 1 ,σ,s 2 ) ∈Rgenau dann, wenn ϕ von der mit der Variablenmenge s 1 ∪σ∪{Xq |
q ∈ s 2 } assoziierten Belegung erfüllt wird.
Beispiel 4. Sei A =(Σ,S, I, R) der Semiautomat aus Beispiel 3 mit den Kodierungen
V Σ = {i 0 ,i 1 ,i 2 ,i 3 }, S = {q 0 ,q 1 } und ϕ I = ¬q 0 ¬q 1 .Umauchdie
Transitionsrelation R durch eine Formel ϕ R zu kodieren, sollen zunächst die
Mengen der Buchstaben kodiert werden, mit denen die Transitionen beschriftet
sind (siehe Abb. 2).
– {0, 3, 6, 9} wird kodiert durch ϕ 0 = ¬i 0 ¬i 1 ¬i 2 ¬i 3 ∨ i 0 i 1 ¬i 2 ¬i 3 ∨¬i 0 i 1 i 2 ¬i 3 ∨
i 0 ¬i 1 ¬i 2 i 3
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