Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Zu einer Presburger N -Formel ϕ N lässt sich leicht eine Presburger Z -Formel
ϕ Z konstruieren, so dass ϕ N von einer Belegung ξ : V→N genau dann erfüllt
wird, wenn ϕ Z von ξ erfüllt wird. Sei für eine Belegung ξ : V→Z die Belegung
ξ η : V→N gegeben durch ξ η (z) :=η(ξ(z)) für alle z ∈ Z. Damitlässt sich zu
einer Presburger Z -Formel ϕ Z eine Presburger N -Formel ϕ N konstruieren, so dass
jede Belegung ξ : V→Z genau dann ϕ Z erfüllt, wenn ξ η die Formel ϕ N erfüllt.
Abb. 11 beschreibt die Konstruktion solcher Formeln. Die Korrektheit des Verfahrens
kann leicht nachgewiesen werden. Einzig interessant ist die Übersetzung
der Addition auf den ganzen Zahlen, für die eine Fallunterscheidung danach, ob
die Parameter positive oder negative Zahlen sind, verwendet wird.
Aufgrund dieser möglichen Übersetzung von Presburger Z - in Presburger N -
Arithmetik lassen sich viele Eigenschaften der Presburger N - auf Presburger Z -
Arithmetik übertragen. Eine wichtige Eigenschaft ist, dass auch das Entscheidungsproblem
der Presburger Z -Arithmetik in O(2 22n )lösbar ist.
Eine weitere sich übertragende Eigenschaft ist, dass jedes in Presburger N -
Arithmetik definierbare monadische Prädikat p : N → B schließlich periodisch ist
(siehe [BHMV]). Dies bedeutet, dass für jedes solche p zwei Konstanten n 0 ,v ∈ N
existieren mit p (n) ⇔ p (n+v) für alle n ≥ n 0 .
Lemma 1. Jedes in Presburger Z -Arithmetik definierbare Prädikat p : Z → B ist
schließlich periodisch. D. h. es existieren Konstanten n 0 ,v ∈ N, so dass p (n) ⇔
p (n+v) für alle n ≥ n 0 und p (n) ⇔ p (n−v) für alle n ≤−n 0 gilt.
Beweis. Das Prädikat q : N → B sei gegeben durch q (i) :⇔ p (η−1(i)) . Da p
in Presburger Z -Arithmetik definierbar ist, ist – wie der Übersetzungsalgorithmus
zeigt – q in Presburger N -Arithmetik definierbar. Da jedes in Presburger N -
Arithmetik definierbare monadische Prädikat schließlich periodisch ist, ist auch
q schließlich periodisch. Daher existieren zwei Konstanten n 0 ,v ∈ N mit q (n) ⇔
q (n+v) für alle n ≥ n 0 . O.B.d.A. seien n 0 und v gerade und n 0 > 0.
Setze m 0 := η −1 (n 0 ) und w := η −1 (v). Dan 0 gerade gewählt wurde, gilt
m 0 = n0
2
> 0. Damitgiltfür alle m ≥ m 0 die Beziehung η(m) =2∗ m ≥
2 ∗ m 0 = n 0 . Man beachte, das η(m) gerade ist. Da v ebenfalls gerade ist, gilt
η −1 (η(m) +v) =η −1 (η(m)) + η −1 (v) =m + w. Zusammengefasst gilt also für
alle m ∈ Z mit m ≥ m 0
p (m) ⇔ q (η(m)) ⇔ q (η(m)+v) ⇔ p η−1 (η(m)+v) ⇔ p (m+w)
Wegen m 0 > 0 gilt für alle m ≤−m 0 die Beziehung η(m) =−(2 ∗ m) − 1 >
−(2 ∗−m 0 )=2∗ m 0 = n 0 .Dav gerade ist, gilt η −1 (η(m)+v) =η −1 (η(m)) −
η −1 (v) =m − w. Zusammengefasst gilt also für alle m ∈ Z mit m ≤−m 0
p (m) ⇔ q (η(m)) ⇔ q (η(m)+v) ⇔ p η−1 (η(m)+v) ⇔ p (m−w)
Damit ist gezeigt, dass das Prädikat p schließlich periodisch ist.
⊓⊔