Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Folgerungsgraph ableitet. Dies ist ein gerichteter azyklischer Graph, dessen Knoten
einer true – Zuweisung einer Variablen entsprechen. Eine Kante von v 1 zu v 2 besagt,
dass durch die Annahme, dass v 1 erfüllt ist, aus einer Klausel folgt, dass v 2 auch
erfüllt sein muss, um die Klausel erfüllen zu können.
Zum Beispiel nehmen wir eine Klauselmenge {(a b), (b c d)} an. Des
weiteren haben wir schon {a, c} als erfüllt angenommen. Daraus ergibt sich
folgender möglicher Folgerungsgraph:
a b
c
d
Abbildung 1: Folgerungsgraph
Das Symbol b wird impliziert von Knoten a und der Klausel (a b), während das
Symbol d von den Konten b und c sowie der Klausel (b c d) impliziert wird.
Eine Klausel ist in Konflikt mit dem Folgerungsgraph, wenn alle ihre Variablen als
Negation in dem Graph vorkommen. Wenn nun so ein Konflikt bei einem SAT-
Algorithmus auftaucht, generiert dieser eine Konfliktklausel, die von den vorhandenen
Klauseln der Klauselmenge impliziert wird. Diese Konfliktklausel wird durch
Vereinigung der in Konflikt stehenden Klausel mit Klauseln aus dem
Folgerungsgraph generiert.
Fügen wir zum Beispiel der Klauselmenge von oben die Klausel (b d) hinzu.
Diese steht in Konflikt mit dem Folgerungsgraph. Die Variable d steht im Konflikt
und wird von der Klausel (b c d) impliziert. Die Vereinigung von dieser Klausel
und der Klausel im Konflikt lautet dann (b c), die auch im Konflikt mit dem
Folgerungsgraph steht. Auch die Variable b vom Folgerungsgraph steht im Konflikt.
Sie wird von der Klausel (a b) impliziert. Vereinigt man diese nun mit der vorhin
erhaltenen Klausel (b c), so erhält man (a c) als eine weitere Konfliktklausel.
Eine von diesen beiden implizierten Konfliktklauseln wird nun der Klauselmenge
hinzugefügt.
Um nun einen Beweis für den unerfüllbaren Fall zu finden muss man beobachten,
welche Sequenzen von Klauseln zu den jeweiligen Konfliktklauseln vereinigt werden.
Im unerfüllbaren Fall liefert ein modifizierter SAT-Algorithmus als Ergebnis eine
leere Klausel, von der aus nun eine Tiefensuche gestartet wird, die nach den
Bedingungen sucht, die ursprünglich diese Sequenz bedingt haben. Es ist im
allgemeinen nicht nötig, alle vom SAT-Algorithmus generierten Konfliktklauseln zu
durchsuchen, um eine leere Klausel ableiten zu können.
3. Der Interpolationsalgorithmus
Nehmen wir nun an, dass wir eine Partitionierung einer Klauselmenge C in eine
indizierte Menge {C 1 ... C n } mit disjunkten Untermengen C i haben. Wir bezeichnen
eine Variable in Beziehung auf als global, wenn sie in mehr als einem C i