Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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3.3 SAT Ansatz
Bei SAT(=satisfiability) handelt es sich um das boolesche Erfüllbarkeitsproblem.
Gegeben ist eine Formel in KNF, zum Beispiel (x 1 ∨ x 2 ) ∧ (x 3 ∨ x 4 ) und gesucht
ist eine Belegung der Literale {x 1 , ··· ,x 4 }, welche diese Formel erfüllt. Dazu
müssen die beiden Klauseln (x 1 ∨x 2 ) und (x 3 ∨x 4 )erfüllt werden. Eine Belegung,
welche dieses Kriterium erfüllt, ist zum Beispiel {x 1 =1,x 2 =1,x 3 =0,x 4 =1}.
Eine naive Vorgehensweise um eine solche Belegung zu finden wäre:
1. Weise den Variablen schrittweise die Werte 0/1 zu und speichere die Entscheidung
in einem Entscheidungsbaum
2. Prüfe, ob die aktuelle Belegung der Variablen alle Klauseln erfüllt
3. Ist dies nicht der Fall, gehe einen Schritt im Entscheidungsbaum zurück, und
belege die Variable mit einem anderen Wert(Backtracking)
4. Wiederhole, bis entweder eine Lösung gefunden, oder keine Variable mehr
einen anderen Wert erhalten kann.
Diesen Ansatz nennt man auch die Davis-Logemann-Loveland Procedure, ein
einfacher Backtracking Algorithmus. In dieser Form ist er natürlich nicht effizient
und führt zu exponentieller Laufzeit. Ausgehend von diesem Grundgerüst
erweitert man diesen Ansatz mit neuen Regeln, um die Laufzeit zu verbessern.
Einige Regeln, die angewendet werden, sind:
unit clause rule Wenn die Zuweisung eines Wertes einer einzelnen Variable
dazu führt, dass die Klausel zu einer Einheit wird, dann muss diese Variable
den Wert 1 haben. Beispiel: (x 1 ∨¬x 2 ∨ x 3 ) und die aktuelle Zuweisung ist
{x 1 =0,x 2 =1}, dann bildet diese Klausel eine Einheit und die verbleibende
Variable x 3 muss den Wert 1 erhalten.
boolean constraint propagation Die iterative Anwendung der unit clause
rule nennt man auch boolean constraint propagation.
pure literal rule Liegen für eine Variable x alle Literale in positiver oder negativer
Form vor, so kann diese Variable einen Wert erhalten, welcher alle
Klauseln erfüllt.
Um nun SAT-Algorithmen benutzen zu können, müssen zwei Dinge geschehen.
Alserstesbildetmanfür die Schaltungen die sogenannte Miter-Anordnung (siehe
Abbildung 5). Die zusammengehörigen Eingänge und Ausgänge werden einzeln
mit ⊕ verknüft, die Ausgänge führen dann in ein ∨-Gatter. Wenn die beiden
Schaltkreise äquivalent sind, ergibt sich am Ausgang immer 0, da die ⊕-
Gatter nur eine 1 ergeben, wenn einer der beiden Eingänge eine 1 war. Die
∨-Verknüpfung prüft dann nur, ob einer der ⊕-Gatter eine logische 1 als Ergebnis
ergab.
Kann man eine Wertebelegung finden welche E = 1 erzeugt ist ein Testvektor
für den Beweis der Nichtäquivalenz gefunden.