Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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dies dagegen möglich:
z . = x + y ↔ ADD(x, y, z)
x . =0↔∀y.y + x . = y
> 0 (x) ↔≥ 0 (x) ∧¬x . =0
x ≤ y ↔∃z.≥ 0 (z) ∧ ADD(x, z, y)
x 0 (z) ∧ ADD(x, z, y)
x . =1↔∀y.y < x → y ≤ 0
x . =2↔∀y.y < x → y ≤ 1
.
x . = −1 ↔∀y.y ≥ x → y>0
x . = −2 ↔∀y.y ≥ x → y>1
.
z . = x − y ↔ z . = x + y
y . = −x ↔ y . =0− x
y . = x ∗ 0 ↔ y . =0
y . = x ∗ 1 ↔ y . = x ∗ 0+x
y . = x ∗ 2 ↔ y . = x ∗ 1+x
y . = x ∗ 3 ↔ y . = x ∗ 2+x
.
.
y . = x ∗−1 ↔ y . = x ∗ 0 − x
y . = x ∗−2 ↔ y . =(x ∗−1) − x
y . = x ∗−3 ↔ y . =(x ∗−2) − x
.
5.2 Äquivalente Ausdruckskraft von Presburger Z - und Presburger N -
Arithmetik
Presburger Z - und Presburger N -Arithmetik besitzen äquivalente Ausdruckskraft.
Um dies zu zeigen, muss zunächst eine Abbildung zwischen den ganzen Zahlen
und den natürlichen Zahlen gefunden werden. Sei η : Z → N gegeben durch:
η(x) :=
{
2 ∗ x falls x ≥ 0
(−2 ∗ x) − 1sonst
Die Funktion η ist eine Bijektion. Ihre Umkehrfunktion η −1
durch:
{ x
η −1 (x) := 2
falls x gerade
− x+1
2
sonst
ist gegeben