Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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– Gϕ := ¬F ¬ϕ
Es gilt also α |= Gϕ gdw. für alle i ∈ N gilt (α, i) |= ϕ
– A ∀ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ):=¬A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R , ¬ϕ)
α |= A ∀ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ) gilt also genau dann, wenn für jeden Durchlauf
β : N → 2 VS von α durch den durch V Σ , V S ,ϕ I und ϕ R kodierten Semiautomaten
gilt β |= ϕ.
– Häufig ist es sinnvoll, in der Akzeptanzbedingung ϕ eines ω-Automaten A =
A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ) über V Σ nicht nur den Durchlauf durch den von A beschriebenen
Semiautomaten, sondern auch das zu dem Durchlauf gehörende
Wort betrachten zu können. Dazu soll implizit ein Durchlauf β : N → 2 VS eines
Wortes α : N → 2 VΣ erweitert werden zu einem Wort β ′ : N → 2 VS∪VΣ ,
das gegeben ist durch β ′(n) := β (n) ∪ α (n) für alle n ∈ N. Eine Akzeptanzbedingung
ϕ über V S ∪ V Σ kann dann auf diesem neuen Wort β ′ ausgewertet
werden. Formal gesehen wird jede L ω -Formel über V Σ der Form
A ∃ (V S ,ϕ I ,ϕ R ,ϕ) erweitert zu
A ∃ (V S ∪{x ′ | x ∈V Σ },ϕ I ,ϕ R ∧ ∧
x∈V Σ
x ′ ↔ x, ϕ)
.
ϕ darf dann eine beliebige L ω -Formel über V S ∪ {x ′ | x ∈V Σ } sein. Als
Schreibvereinfachung wird x mit x ′ für jede Variable x ∈V Σ identifiziert.
– Der Ausdruck Xϕ soll ein Wort α genau dann akzeptieren, wenn (α, 1) |= ϕ
gilt. Damit lässt sich Xϕ als Abkürzung für A ∃ ({q 0 ,q 1 }, ¬q 0 ¬q 1 ,ϕ R ,Gq 0 → ϕ)
mit ϕ R = ¬q 0 ¬q 1 Xq 0 ¬Xq 1 ∨ q 0 ¬q 1 ¬Xq 0 Xq 1 ∨¬q 0 q 1 ¬Xq 0 Xq 1 betrachten
(vergleiche Abb. 3).
1 1
{} {q 0} {q 1}
1
Abb. 3: Semiautomat für Xϕ
1.4 Klassen von ω-Automaten
Wie bereits erwähnt führen unterschiedliche Akzeptanzbedingungen zu unterschiedlichen
Klassen von ω-Automaten mit unterschiedlicher Mächtigkeit. Wichtig
sind die folgenden Klassen von Akzeptanzbedingungen:
Definition 10 (Klassen von Akzeptanzbedingungen). φ i und ψ i seien für
alle i ∈{1,...,n} aussagenlogische Formeln über den Zustandsvariablen. Dann