Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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definiert durch:
– pre R ∃ (Q 2):={s 1 ∈S 1 |∃s 2 .(s 1 ,s 2 ) ∈R∧s 2 ∈S 2 }
– pre R ∀ (Q 2):={s 1 ∈S 1 |∀s 2 .(s 1 ,s 2 ) ∈R→s 2 ∈S 2 }
– suc R ∃ (Q 1):={s 2 ∈S 1 |∃s 1 .(s 1 ,s 2 ) ∈R∧s 1 ∈S 1 }
– suc R ∀ (Q 1):={s 2 ∈S 1 |∀s 1 .(s 1 ,s 2 ) ∈R→s 1 ∈S 1 }
In Worten: Für eine Kripke-Struktur beschreibt pre R ∃ (Q 2) die sog. existenziellen
Vorgänger der Menge Q 2 . Dies ist die Menge der Zustände, von denen aus mit
nur einem Schritt ein Zustand aus Q 2 erreicht werden kann. Es existiert also
(mindestens) ein Nachfolgezustand aus Q 2 für jeden Zustand aus pre R ∃ (Q 2).
pre R ∀ (Q 2) bezeichnet die sog. universellen Vorgänger der Menge Q 2 .
Hierbei ist die Menge der Zustände, von denen aus mit nur einem Schritt
auf jeden Fall ein Zustand aus der Menge Q 2 erreicht wird, gemeint. Die Definition
der Nachfolgermengen vollzieht sich analog. Existenzielle Nachfolger sind
Zustände, bei denen mindestens ein Vorgänger in Q 1 liegt. Bei der universellen
Nachfolgermenge müssen alle Vorgängerzustände in Q 1 liegen.
Binäre Zustandsdiagramme (BDDs)
Binäre Zustandsdiagramme (engl. Binary Decision Diagram) dienen zur kompakten
Verwaltung von aussagenlogischen Formeln. Mit ”kompakt“ sind nicht die
ausgefalteten BDDs gemeint, sondern reduzierte, geordnete BDDs (ROBDDs).
BDDs sind anschaulich gesprochen Graphen, welche Knoten haben, die Literale
repräsentieren, jeweils eine 0- und eine 1-Kante haben und in den Blättern 0
bzw. 1 als Knotenwert besitzen. Als Beispiel die Darstellung der Formel a ∧ b ∨ c
als einfacher BDD ohne Optimierungen in voller Größe:
a
b
b
c
c
c
c
0 1 0 1 0 1 1 1
Abbildung 4. a ∧ b ∨ c als Binary Decision Diagram