Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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– keine Funktionssymbole
– das Prädikatssymbol ADD
– beliebig viele Variablen x erster Stufe
erlaubt. Außerdem sei das Prädikat ADD auf den natürlichen Zahlen wie üblich
definiert, nämlich durch ADD(x, y, z) :⇔ x+y . = z. Presburger-Arithmetik besitzt
also nur eine mögliche Interpretation.
Mit dieser Definition ist die Menge der Presburger-Terme Term Presburger die
Menge der Variablen. Die Menge der Presburger-Formeln ist die kleinste Menge
mit
– ADD(x, y, z) ∈ Presburger für alle Terme x, y, z ∈ Term Presburger
– x = . y ∈ Presburger für alle Terme x, y ∈ Term Presburger
– ¬ϕ ∈ Presburger für jede Formel ϕ ∈ Presburger
– ϕ ∧ ψ ∈ Presburger für alle Formeln ϕ, ψ ∈ Presburger
– ∃x.ϕ ∈ Presburger für jede Variable erster Stufe x : → N und jede Formel
ϕ ∈ Presburger
Definition 20 (Semantik der Presburger-Arithmetik). Presburger-Formeln
und Terme werden nur über den natürlichen Zahlen ausgewertet. Sei ξ
eine Belegung. Da ausschließlich Variablen erster Stufe Presburger-Terme darstellen,
ist die Bedeutung x ξ eines Terms x ∈ Term Presburger in einer Belegung
ξ ist gegeben durch x ξ := ξ(x). Die Bedeutung ϕ ξ einer Presburger-Formel
ϕ ist gegeben durch:
– ¬ϕ ξ :⇔ nicht ϕ ξ
– ADD(x, y, z) ξ :⇔ x ξ + y ξ = z ξ
– x = . y ξ :⇔ x ξ = y ξ
– ϕ ∧ ψ ξ :⇔ ϕ ξ und ψ ξ
– ∃x.ϕ ξ :⇔ es gibt ein n ∈ N mit ϕ ξ n x
Auf den ersten Blick scheint Presburger-Arithmetik nicht ausdrucksstark zu
sein. Es können jedoch viele wichtige Funktionen und Prädikate in Presburger-
Arithmetik definiert werden. Alle definierten Funktionen und Prädikate besitzen
ihre übliche Bedeutung auf den natürlichen Zahlen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit
wird auf die Allquantifizierung der zur Definition benutzten Formeln