Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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– beliebig viele monadische Variablen p zweiter Stufe, also des Typs p : N → B
erlaubt. Außerdem wird nur die übliche Interpretation der Konstante 0 und der
Nachfolgerfunktion auf den natürlichen Zahlen verwendet. S1S besitzt also nur
eine mögliche Interpretation.
Mit dieser Definition ist die Menge der S1S-Terme Term S1S die kleinste Menge,
für die gilt:
– 0 ∈ Term S1S
– x ∈ Term S1S für jede Variable x :→ N
– SUC(t) ∈ Term S1S für jeden Term t ∈ Term S1S
Jeder S1S-Term besitzt also entweder die Form SUC n (0) oder SUC n (x), wobei
x eine Variable erster Stufe ist. Terme der Form SUC n (0) werden mit dem
Symbol n abgekürzt. So entspricht das Konstantensymbol 3 z. B. dem Term
SUC(SUC(SUC(0))). Statt SUC n (t), wobei t ein beliebiger Term ist, wird auch
die Schreibweise t + n verwendet.
Die Menge der S1S-Formeln ist die kleinste Menge mit
– t . = u ∈ S1S für alle Terme t, u ∈ Term S1S .
– p (t) ∈ S1S für jede Variable zweiter Stufe p : N → B und jeden Term t ∈
Term S1S
– ¬ϕ ∈ S1S für jede Formel ϕ ∈ S1S
– ϕ ∧ ψ ∈ S1S für alle Formeln ϕ, ψ ∈ S1S
– ∃x.ϕ ∈ S1S für jede Variable erster Stufe x :→ N und jede Formel ϕ ∈ S1S
– ∃p.ϕ ∈ S1S für jede Variable zweiter Stufe p : N → B und jede Formel
ϕ ∈ S1S
Außerdem werden für S1S-Formeln die folgenden Abkürzungen verwendet:
– ϕ ∨ ψ := ¬(¬ϕ ∧¬ψ)
– ϕ → ψ := ¬ϕ ∨ ψ
– ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
– ∀.ϕ := ¬∃¬ϕ
S1S-Formeln und Terme werden nur über den natürlichen Zahlen ausgewertet.
Sei ξ eine Belegung, also eine Funktion, die jeder Variable erster Stufe eine
natürliche Zahl und jeder Variable zweiter Stufe eine Relation passender Stelligkeit
auf den natürlichen Zahlen zuweist. Weiter bezeichne ξx y die durch
{ y falls z = x
ξx(z) y :=
ξ(z) sonst
definierte Belegung. Damit ist die Bedeutung t ξ eines Terms t ∈ Term S1S in
einer Belegung ξ gegeben durch:
– 0 ξ := 0
– x ξ := ξ(x) für jede Variable x des Typs x :→ N