Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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– {1, 4, 7} wird kodiert durch ϕ 1 = i 0 ¬i 1 ¬i 2 ¬i 3 ∨¬i 0 ¬i 1 i 2 ¬i 3 ∨ i 0 i 1 i 2 ¬i 3
– {2, 5, 8} wird kodiert durch ϕ 2 = ¬i 0 i 1 ¬i 2 ¬i 3 ∨ i 0 ¬i 1 i 2 ¬i 3 ∨¬i 0 ¬i 1 ¬i 2 i 3
Damit kann die Transitionsrelation definiert werden durch
1,4,7
s 0 −−−→ s 1 : ¬q 0 ¬q 1 ∧ ϕ 1 ∧ Xq 0 ¬Xq 1 ∨
2,5,8
s 0 −−−→ s 2 : ¬q 0 ¬q 1 ∧ ϕ 2 ∧ ¬Xq 0 Xq 1 ∨
0,3,6,9
s 1 −−−−→ s 1 : q 0 ¬q 1 ∧ ϕ 0 ∧ Xq 0 ¬Xq 1 ∨
1,4,7
s 1 −−−→ s 2 : q 0 ¬q 1 ∧ ϕ 1 ∧ ¬Xq 0 Xq 1 ∨
2,5,8
s 1 −−−→ s 0 : q 0 ¬q 1 ∧ ϕ 2 ∧ ¬Xq 0 ¬Xq 1 ∨
0,3,6,9
s 2 −−−−→ s 2 : ¬q 0 q 1 ∧ ϕ 0 ∧ ¬Xq 0 Xq 1 ∨
1,4,7
s 2 −−−→ s 0 : ¬q 0 q 1 ∧ ϕ 1 ∧ ¬Xq 0 ¬Xq 1 ∨
2,5,8
s 2 −−−→ s 1 : ¬q 0 q 1 ∧ ϕ 2 ∧ ¬Xq 0 Xq 1
ϕ 0
{}
ϕ 2
ϕ 1
ϕ 1
{q 0} {q 1}
ϕ 2
ϕ 1
ϕ 2
ϕ 0
ϕ0
Abb. 2: Beispiel 3 und Beispiel 4
Diese Formel, die die Transitionsrelation kodiert, wurde bewusst nicht vereinfacht,
um möglichst gut die Beziehung zwischen der Kodierung und den ursprünglichen
Repräsentation nachvollziehen zu können. Sie kann aber mit den
üblichen Hilfsmitteln für die Aussagenlogik wie beispielsweise BDDs effizient
behandelt werden.
Bisher wurde gezeigt, wie Semiautomaten mit aussagenlogischen Formeln kodiert
werden können. Um ω-Automaten zu kodieren, muss zusätzlich die Akzeptanzbedingung
kodiert werden. Ein unendliches Wort soll genau dann von einem
ω-Automaten akzeptiert werden, wenn es einen Durchlauf des Wortes durch den
Automaten gibt, der die Akzeptanzbedingung erfüllt. Ein solcher Durchlauf ist
aber selbst ein unendliches Wort. Daher ist es sinnvoll, für die Akzeptanzbedingung
wieder ω-Automaten zu verwenden. Terminiert wird diese Rekursion,