Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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diesem Einsatzbereich sind aber neben der Addition sowie leicht in Presburger-
Arithmetik definierbaren Operationen wie Subtraktionen oder Shifts auch Bitvektoroperationen
wichtig. Daher soll abschließend die Erweiterung der Presburger-Arithmetik
um Bitvektoroperationen betrachtet werden. Es wird gezeigt
werden, dass dies eine echte Erweiterung der Presburger-Arithmetik darstellt,
dass also Bitvektoroperationen nicht in Presburger-Arithmetik definierbar sind.
Außerdem wird gezeigt werden, dass das Entscheidungsproblem dieser um Bitvektoroperationen
erweiterten Presburger-Arithmetik nicht elementare Komplexität
besitzt. Dagegen ist das Entscheidungsproblem der Presburger-Arithmetik
in O(2 22n )lösbar.
Vorausgesetzt werden grundlegende Kenntnisse der Aussagenlogik sowie der
Prädikatenlogik erster und zweiter Stufe. Endliche Automaten über endlichen
Wörtern werden zwar kurz vorgestellt, aber auch hier werden Kenntnisse vorausgesetzt.
Bei Problemen sei auf die entsprechende Literatur wie z. B. [Sch04]
verwiesen. Auf diesem Buch basiert ein Großteil dieses Textes. Unter anderem
stammen auch die verwendeten Schreibweisen aus diesem Buch.
1 ω-Automaten
ω-Automaten sind endliche Automaten über unendlichen Wörtern. Um diese
einzuführen, sollen zunächst Wörter und endliche Automaten über endlichen
Wörtern betrachtet werden. Diese Betrachtung wird jedoch kurz ausfallen, da
grundlegende Kenntnisse vorausgesetzt werden. Bei Problemen sei auf die entsprechende
Literatur verwiesen.
1.1 endliche Automaten auf endlichen Wörtern
Definition 1 (Wort, Alphabet). Sei Σ eine nicht leere Menge. Eine Funktion
α : {i ∈ N | i