Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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3.3 LTL spezifisch: Semantische Grundlagen
Um das Modell des Systems zu beschreiben werden Kripke-Strukturen
K =(I, S, T , L) [9] als Grundlage angenommen. Im Prinzip kann jede endliche
Automatendarstellung verwendet werden. Kripkestrukturen haben jedoch
den Vorteil, dass sie von den Ein- und Ausgaben abstrahieren. Es kommen dabei
nur Kripke-Strukturen in Betracht, die eine boolesche Kodierung erlauben
(S = {0, 1} n ).
Es werden zudem folgende aussagenlogische Formeln definiert:
f I (s) := I(s) gdw. s ∈I
f T (s, t) :=T (s, t) gdw. (s, t) ∈ T
f p (s) := p(s) gdw. p ∈L(s)
Es muss weiter gelten, dass jeder
Zustand einen Vorgänger hat. Für alle s ∈Sexistiert ein t ∈S, so dass gilt
(s, t) ∈T.Für eine unendliche Folge von Zuständen π =(s 0 ,s 1 , ...) gilt dabei,
dass π(i) =s i und π i =(s i ,s i+1 , ...) für alle i ∈ N.
Definition von LTL auf einer Kripke-Struktur
Sei M eine Kripke-Struktur, π ein Pfad in M und f eine LTL Formel, dann gilt
für π |= f:
π |= p gdw. p ∈L(π(0)) π |= ¬p gdw. p/∈L(π(0))
π |= f ∧ und
∨
g gdw. π |= f
oder π |= g
π |= Gf gdw. ∀.π i |= f π |= Ff gdw. ∃ i.π i |= f
π |= Xf gdw. π 1 |= f
π |= f U g gdw. ∃i [π i |= g und ∀j, j < i.π j |= f]
Zur Erinnerung:
Eine LTL Formel f ist auf einer Kripke-Struktur universell gültig
(M |= Af), falls für alle Pfade π in M mit π(0) ∈I gilt.
Eine LTL Formel f ist auf einer Kripke-Struktur existentiell gültig
(M |= Ef), falls ein Pfad π in M existiert mit π(0) |= f und π(0) ∈I
gilt.
Im Folgenden werden nur existentielle Probleme betrachtet. Eine Umwandlung
von einer universellen in ein existentiellen Formel ist in [9] beschrieben.