Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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systeme [May99], die die Ausdrucksstärke von Kellerautomaten und Petrinetzen
vereinen.
Prozessersetzungssysteme bestehen aus einer Menge von Prozesstermen T ,
die die Zustände eines Systems beschreiben, und Ersetzungsregeln ∆ für das
dynamische Verhalten. Prozessterme bilden sich aus einer Menge von Prozesskonstanten,
sowie deren sequenzielle und parallele Komposition. Für eine Prozesskonstante
X, Prozessterme t 1 und t 2 und einen leeren Term ɛ hat ein Prozessterm
t die Form
t ::= ɛ | X | t 1 .t 2 | t 1 ‖ t 2 .
Die parallele Komposition ”‖” ist kommutativ und assoziativ, die sequenzielle
Komposition ”.” assoziativ.
Act ist eine abzählbar unendliche Menge von Aktionen. Eine Ersetzungsregel
a
aus ∆ hat die Form t 1 −→ t2 mit a ∈ Act. Um die Sequenzialität von ”.” zu erhalten,
werden Ersetzungen nur auf Präfixen von Prozesstermen vorgenommen.
Die Semantik des PES wird durch ein markiertes Transitionssystem gegeben,
das die folgenden Transitionen enthält:
(t 1
a
−→ t2 ) ∈ ∆
t 1
a
−→ t2
,
(t 1
a
−→ t
′
1 ) ∈ ∆
t 1 ‖ t 2
a
−→ t
′
1 ‖ t 2
,
(t 1
a
−→ t
′
1 ) ∈ ∆
t 1 .t 2
a
−→ t
′
1 .t 2
Um Unterklassen von PES zu bilden, kann man die Menge der Prozessterme
einschränken, indem man sequenzielle oder parallele Komposition verbietet. Die
folgenden Klassen sind Teilmengen der Prozessterme T :
1 Nur Prozesskonstanten, ɛ ∉ 1
S Prozesskonstanten und sequenzielle Komposition (X, Y . X, ...)
P Prozesskonstanten und parallele Komposition (X, Y ‖ X, ...)
G Sequenzielle und parallele Komposition (X, X . Y, (X . Y) ‖ Z, ...)
Es ist 1 ⊂ S, P ⊂ G. Durch Einschränken der Prozessterme, die auf der
linken bzw. rechten Seite einer Ersetzungsregel vorkommen können, entstehen
verschiedene Klassen von Ersetzungssystemen, die mit bekannten Formalismen
verglichen werden können. Man definiert ein (α, β)–PES als eine Menge von
Ersetzungsregeln ∆ der Form l a −→ r, mitl ≠ ɛ aus α und r aus β. Sinnvollsind
(α, β)–PES mit α ⊆ β, da sonst Prozessterme, die auf linken, aber nicht auf
rechten Seiten stehen dürfen, nicht erreicht werden können.
Die Klassen von (α, β)–PES lassen sich in einer Hierarchie anordnen (siehe
Abb. 1). In diese Hierarchie lassen sich einige bekannte Formalismen einordnen.
(1,1)–PES erlauben nur Prozesskonstanten. Da die Menge der Ersetzungsregeln
in ∆ endlich ist, gibt es auch nur endlich viele Zustände. Endliche Automaten
lassen sich mit (1,1)–PES modellieren.