Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

199
ben. Sei dies Zustand c, also:
Φ Q := ¬a ∧¬b ∧ c
Errechnet wird die Menge der existenziellen Vorgänger von Q durch:
pre R ∃ (Q) :
∃x ′ 1, ..., x ′ n.R(x 1 , ..., x n ,x ′ 1, ..., x ′ n) ∧ [Φ Q ] x′ 1 ,...,x′ n
x 1,...,x n
Am jetzigen Beispiel berechnet sich das folgendermaßen:
∃x ′ 1, ..., x ′ n. [Φ Q ] x′ 1 ,...,x′ n
x 1,...,x n
Durch die Auswahl eines einzigen Zustands ist diese Berechnung offensichtlich.
x ′ i muss dem Vorkommen von x i entsprechen. Wenn dies zutrifft hat man im
Fall, dass Φ Q nur einen einzigen Zustand repräsentiert, sofort eine erfüllende
Belegung.
[¬a ∧¬b ∧ c] ¬a′ ,¬b ′ ,c ′
a,b,c
⇐⇒ ¬¬a ′ ∧¬¬b ′ ∧ c ′ ⇐⇒ a ′ ∧ b ′ ∧ c ′
ist sofort erfüllt, wenn man alle Literale wahr setzt.
⎛
⎞
a ∧¬b ∧¬c ∧ a ′ ∧ b ′ ∧ c ′ ∨
a ∧¬b ∧¬c ∧¬a ′ ∧ b ′ ∧ c ′ ∨
pre R ∃ (Q) =
⎜ a ∧¬b ∧ c ∧ a ′ ∧ b ′ ∧ c ′ ∨
⎟
⎝ ¬a ∧ b ∧¬c ∧¬a ′ ∧ b ′ ∧ c ′ ∨ ⎠ ∧ [¬a ∧¬b ∧ ,¬b ′ ,c ′
c]¬a′ a,b,c
} {{ }
¬a ∧¬b ∧ c ∧¬a ′ ∧ b ′ ∧ c ′ (a ′ ∧b ′ ∧c ′ )
( )
a ∧¬b ∧¬c∨
=
a ∧¬b ∧ c
} {{ }
(∗)
(∗) bezeichnet die gesuchte Menge. Dies ist die aussagenlogische Formel, welche
alle gesuchten Zustände von pre R ∃
(Q) beschreibt. Da es sich, wie gesagt,
wiederum um eine aussagenlogische Formel handelt, kann auch diese Menge als
[RO]BDD dargestellt werden. Da die BDD-Pakete inzwischen auf sehr effizienten
Algorithmen beruhen, lassen sich Berechnungen auf diesen Datenstrukturen
bemerkenswert gut durchführen.
Die Nachfolgerberechnung wird ähnlich vollzogen. Die Berechnungsvorschrift
zur Ermittlung der Nachfolgermenge von Q lautet:
suc R ∃ (Q) : ∃x 1 , ..., x n . [R(x 1 , ..., x n ,x ′ 1, ..., x ′ n) ∧ Φ Q ] x1,...,xn
x ′ 1 ,...,x′ n
Wenn es sich bei Q allerdings nicht um die Repräsentation nur eines Zustandes
handelt, wird die Berechnung einer erfüllenden Belegung für den ∃–Quantor
etwas schwerer.
Prinzipiell werden zur Quantifizierung von ROBDDs folgende zwei Eigenschaften
benutzt (x ist eine Variable, ϕ eine Formel):