Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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den BDD (bzw. dessen Wurzel), welcher die Verknüpfung von BddNode x und
BddNode y mit der boolschen Operation f repräsentiert.
Wenn R und Φ Q nun durch die ROBDDs r und q repräsentiert werden und
ROBDD e die Menge E = {x 1 , ..., x n } beschreibt, dann berechnet
RelProd(e, r, q) = ROBDD (∃x 1 , ..., x n .R∧Φ Q ) .
Jetzt fehlt lediglich die Substitution der Variablen x ′ i durch x i (bzw. umgekehrt
für q bei der Vorgängerberechnung). Im praktischen Einsatz wird dies jedoch
meist durch eine verschränkte Variablenordnung umgangen.
D.h. x ′ 1 ≺ x 1 ≺ x ′ 2 ≺ x 2 ≺ ... ≺ x ′ n ≺ x n , somit müssen im Algorithmus
lediglich angepasste Indizes verwendet werden (z.B. i ↦→ 2i + 1 um alle x ′ i zu
adressieren).
Durch die effizienten BDD–Algorithmen existiert damit eine gute Möglichkeit
zur Berechnung der Vorgänger- und Nachfolgermengen. Diese Mengen werden
bei der Auswertung des µ–Kalküls benötigt, dessen Semantik folgendermaßen
definiert ist:
Zu einer Kripke-Struktur K und einer Formel ϕ ∈L µ definiert man:
– x K := {s ∈S|x ∈L(s)}
– ¬ϕ K := S\ϕ K
– ϕ ∧ ψ K := ϕ K ∩ ψ K
– ϕ ∨ ψ K := ϕ K ∪ ψ K
– ♦ϕ K := pre R ∃ (ϕ K) und □ϕ K := pre R ∀ (ϕ K)
– ← ♦ ϕ K := suc R ∃ (ϕ K) und ← □ϕ K := suc R ∀ (ϕ K)
– µx.ϕ K und νx.ϕ K sind kleinster und größter Fixpunkt
x K bezeichnet die Menge der Zustände, welche ein x in der Labelmenge haben;
d.h. x ist in diesem Zustand wahr. Die Negation einer µ–Kalkülformel wird
ausgewertet, indem aus der gesamten Zustandsmenge diejenigen entfernt werden,
in denen die Formel gilt. Die Und- bzw. Oder-Verknüpfungen werden durch
Schnittmengen respektive Vereinigungen der Teilformelmengen gebildet.
← ♦ ϕ K ist definiert als die Menge der existenziellen Vorgänger der Zustände,
in denen ϕ gilt. Auf ein temporales Zustandssystem ausgelegt bedeuted dies, dass
das die Menge der Zustände ist, welche unmittelbar in einen Zustand gelangen
können, in welchem ϕ erfüllt ist. □ϕ K , ← ♦ ϕ K , ← □ϕ K verhalten sich analog.
Die eigentliche Stärke erlangt das µ–Kalkül erst durch die Fixpunktoperatoren.
Ein Fixpunkt wird im mathematischen Sinn durch die Eigenschaft
f(x) =x
definiert. Bei der Fixpunktberechnung im µ–Kalkül handelt es sich bei x allerdings
meist um eine Zustandsmenge. Kleinster und größter Fixpunkt bezeichnen