Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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1.2 ω-Automaten
Diese Definition der endlichen Automaten auf endlichen Wörtern soll mit möglichst
wenig Änderungen auf unendliche Wörter übertragen werden. Das Konzept
der Durchläufe durch einen Semiautomaten lässt sich leicht anpassen. Ein Durchlauf
eines unendlichen Wortes ist jedoch selbst unendlich. Somit ist die Übertragung
der Akzeptanzbedingung auf unendliche Wörter nicht so leicht möglich
wie die Übertragung der Durchläufe.
Definition 5 (Durchlauf eines unendlichen Wortes). Sei A =(Σ,S, I, R)
ein Semiautomat und α : N → Σ ein unendliches Wort über Σ. Dann heißt ein
Wort β : N →Süber S Durchlauf von α durch A genau dann, wenn gilt: β (0) ∈I
und (β (i) ,α (i) ,β (i+1) ) ∈Rfür alle i ∈ N.
Die Menge alle Läufe eines Wortes α durch einen Semiautomaten A wird
mit RUN A (α) bezeichnet. Gibt es für jedes Wort über Σ genau einen Durchlauf,
so heißt A deterministisch.
Betrachtet man für die Akzeptanzbedingung analog zum endlichen Fall eine
Menge F von Zuständen, so ergeben sich diesmal mehrere mögliche, sinnvolle
Definitionen für die Akzeptanz eines unendlich langen Wortes. Ein unendlich
langes Wort könnte z. B. genau dann akzeptiert werden, wenn es einen Durchlauf
gibt, der
– die Menge F nie verlässt
– die Menge F mindestens einmal besucht
– ab einem bestimmten Zeitpunkt die Menge F nicht mehr verlässt
– die Menge F unendlich oft besucht.
Alle diese verschiedenen Akzeptanzbedingungen sind praxisrelevant und führen
zu unterschiedlichen Automaten mit unterschiedlicher Ausdruckskraft. Mit
ihrer Hilfe lassen sich für die Spezifikation wichtige Eigenschaft formulieren wie
– Sicherheitseigenschaften, diefür alle Eingaben immer gelten sollen,
– Lebendigkeitseigenschaften, diefür alle Eingaben mindestens einmal gelten
sollen,
– Persistenzeigenschaften, diefür alle Eingaben ab einem bestimmten Zeitpunkt
gelten sollen,
– Fairnesseigenschaften, diefür alle Eingaben unendlich oft gelten sollen.
Im Folgenden sollen alle diese möglichen Akzeptanzbedingungen betrachtet
und die daraus entstehenden Automaten als ω-Automaten bezeichnet werden.
Dazu werden ω-Automaten als Formeln dargestellt.