Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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function MSO < Omega(φ)
case φ of
Subset(p, q) : return G(p → q);
Sing(p) : return G(p → XG¬p) ∧ Fp;
S 2(p, q) : return G`p → (Xq ∧ XG¬p)´ ∧ Fp∧ G(q → XG¬q);
¬ϕ : return ¬MSO < Omega(ϕ);
ϕ ∧ ψ : return MSO < Omega(ϕ) ∧ MSO < Omega(ψ);
∃p.ϕ : return A ∃ ({p}, 1, 1, MSO < Omega(ϕ));
end
end
Abb. 8: Übersetzung von MSO < -Formeln in ω-Automaten
Komplexitätsresultat kann aber auch positiv interpretiert werden. Da MSO <
und S1S äquivalente Ausdruckskraft wie ω-Automaten, aber eine wesentlich
aufwendigere Entscheidungsprozedur besitzen, müssen sich bestimmte Aussagen
mit MSO < und S1S-Formeln wesentlich kompakter als mit ω-Automaten
darstellen lassen. Dies ist ein Indiz dafür, dass diese Formalismen wirklich für
die Spezifikation geeignet sind.
4 Praxisrelevante Formalismen
Bisher wurde gezeigt, dass ω-Automaten, MSO < und S1S äquivalente Ausdruckskraft
besitzen und ineinander überführt werden können. Die Logiken MSO <
und S1S gestatten für viele Probleme eine wesentlich intuitivere Spezifikation als
ω-Automaten. Dies gilt besonders, wenn man MSO < und S1S um in ihnen definierbare
Funktionen und Prädikate erweitert.
Trotzdem sollen im Folgenden noch weitere Formalismen betrachtet werden.
Dies geschieht einerseits, weil sie eine noch intuitivere Beschreibung einiger Probleme
ermöglichen, andererseits weil sie ein weniger komplexes Entscheidungsproblem
besitzen.
4.1 Lineare Temporale Logik (LTL)
Definition 17 (Lineare Temporale Logik (LTL)). LTL ist eine spezielle
Temporallogik, also eine um temporale Operatoren erweiterte Aussagenlogik,
die auch den zeitlichen Verlauf der aussagenlogischen Variablen berücksichtigen
kann. Sei V eine Menge von aussagenlogischen Variablen. Die Menge der LTL-
Formeln über V ist die kleinste Menge mit:
– x ∈ LTL für alle x ∈V
– ¬ϕ ∈ LTL für jede Formel ϕ ∈ LTL
– ϕ ∧ ψ ∈ LTL für alle Formeln ϕ, ψ ∈ LTL
– Xϕ ∈ LTL für jede Formel ϕ ∈ LTL
– ←− Xϕ ∈ LTL für jede Formel ϕ ∈ LTL
– ϕUψ ∈ LTL für alle Formeln ϕ, ψ ∈ LTL