Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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Sei umgekehrt Sing (z)
Z
erfüllt. Zu zeigen ist, dass z eine Zweierpotenz ist.
Betrachte die Werte der durch die Existenzquantoren gebundenen Variablen x
und y. Esgilt0 ≤ y ≤ x. Giltx =0, so folgt daraus y =0und damit z =1.
Sei also x>0 und p x das Prädikat, das x kodiert. Dann existiert ein k mit p (k)
x
und ¬p (l)
x
für alle l>k.Für alle y ′ ≤ x gilt ebenfalls ¬p (l)
y ′
und damit ¬p(l)
OR(x,y ′ )
für alle l>k.AlsogiltOR(x, y ′ ) ≤ 2 k+1 − 1. Mit y ′ =2 k − 1 wird dieser Wert
erreicht. Also muss OR(x, y) =2 k+1 − 1 gelten. Damit gilt z =2 k+1 und z ist
eine Zweierpotenz.
Es wurde also gezeigt, dass unter der Annahme, dass die Bitvektoroperation
OR in Presburger Z -Arithmetik definierbar ist, auch das Prädikat Sing Z in Presburger
Z -Arithmetik definierbar ist. Das Prädikat Sing Z ist aber offensichtlich
nicht schließlich periodisch. Nach Lemma 1 kann es damit aber nicht in Presburger
Z -Arithmetik definiert werden. Also kann die Bitvektoroperation OR nicht
in Presburger Z -Arithmetik definiert werden.
⊓⊔
5.5 Komplexität des Entscheidungsproblems der um
Bitvektoroperationen erweiterten Presburger-Arithmetik
Es wurde gezeigt, dass Bitvektoroperationen nicht in Presburger Z -Arithmetik definierbar
sind. Dies bedeutet, dass Presburger Z,Bit -Arithmetik ausdrucksstärker
als Presburger Z -Arithmetik ist. Daraus allein lässt sich jedoch noch nicht folgern,
dass das Entscheidungsproblem der Presburger Z,Bit -Arithmetik nicht in O(2 22n )
lösbar ist. Im Folgenden soll gezeigt werden, dass das Entscheidungsproblem der
Presburger Z,Bit -Arithmetik nicht elementare Komplexität besitzt.
Es wurde gezeigt, dass das Prädikat Sing Z : Z → B in Presburger Z,Bit -Arithmetik
definierbar ist. Dieses Prädikat entspricht dem in Abschnitt 3.3 benutzten
Prädikat Sing :2 N → B eingeschränkt auf die ganze Zahlen repräsentierenden
monadischen Prädikate über N. Also gilt:
Sing Z (x) ⇔ Sing(p x )für alle x ∈ Z
Entsprechende Einschränkungen der Prädikate Subset und S 2 sind ebenfalls in
Presburger Z -Arithmetik definierbar:
∀x.∀y. Subset Z (x, y) ↔ AND(x, y) = . x
∀x.∀y. S 2Z (x, y) ↔ Sing Z (x) ∧ x + x = . y
In Abschnitt 3.3 wurde gezeigt, dass jede MSO < -Formel in eine äquivalente
Formel übersetzt werden kann, die keine Variablen erster Stufe und nur die Prädikate
Subset, Sing und S 2 enthält (siehe Abb. 7). Einschränkungen dieser Prädikate
sind in Presburger Z -Arithmetik definierbar. Eine ähnliche Einschränkung von
MSO < stellt die Weak Monadic Second Order Logic of Linear Order (WMSO < )
dar. Sie entspricht MSO < , wobei nur monadische Prädikate p zweiter Stufe betrachtet
werden, die endlichen Mengen entsprechen, für die also ein n 0 ∈ N existiert
mit ¬p (n) für alle n ≽ n 0 .DieseEinschränkung bezieht sich sowohl auf das
Quantifizieren als auch auf die erlaubten Belegungen freier Variablen. Analog zu