Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

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MSO < kann auch WMSO < auf die Prädikate Subset, Sing und S 2 zurückgeführt
werden (siehe Abb. 7). Die entstehenden Formeln lassen sich dann sehr leicht in
Presburger Z,Bit -Arithmetik übersetzen (siehe Abb. 12).
function WMSO < Presburger Z,Bit (φ)
case φ of
Subset(p x,p y) : return Subset Z (x, y);
Sing(p x) : return Sing Z (x);
S 2(p x,p y) : return S 2Z (x, y);
¬ϕ : return ¬WMSO < Presburger Z,Bit (ϕ);
ϕ ∧ ψ :
return WMSO < Presburger Z,Bit (ϕ) ∧ WMSO < Presburger Z,Bit (ψ);
end
end
∃p x.ϕ
: return ∃x.x ≥ 0 ∧ WMSO < Presburger Z,Bit (ϕ);
Abb. 12: Übersetzung von WMSO < in Presburger Z,Bit -Arithmetik
Es ist bekannt, dass das Entscheidungsproblem von WMSO < nicht elementare
Komplexität besitzt (siehe [GTW02]). Aufgrund obiger Übersetzung, die
polynomielle Komplexität besitzt, besitzt damit auch das Entscheidungsproblem
von Presburger Z,Bit -Arithmetik nicht elementare Komplexität.
Umgekehrt kann auch jede Presburger Z,Bit -Formel in eine WMSO < -Formel
übersetzt werden. Analog zu der Übersetzung zwischen Presburger N - und Presburger
Z -Arithmetik kann man auch WMSO < und eine Variante von WMSO <
ineinander übersetzen, die neben monadischen Prädikaten, die endlichen Mengen
entsprechen, auch solche erlaubt, die koendlichen Mengen entsprechen. Die Übersetzung
einer Presburger Z,Bit -Formel in eine Formel dieser erweiterten WMSO < -
Logik kann analog der Übersetzung von Presburger-Formel in eine MSO < -Formel
erfolgen. Damit ist gezeigt, dass Presburger Z,Bit und MSO < äquivalente Ausdruckskraft
besitzen.
6 Zusammenfassung und Ausblick
In diesem Text wurden kurz ω-Automaten vorgestellt und gezeigt, dass sie
gleichmächtig zu den Prädikatenlogiken MSO < und S1S sind. Dabei wurde ein
Algorithmus zur Übersetzung von Formeln dieser Logiken in ω-Automaten vorgestellt.
Desweiteren wurde gezeigt, wie die praxisrelevanten Formalismen LTL und
Presburger-Arithmetik in ω-Automaten übersetzt werden können. Diese beiden
Formalismen sind dabei als zwei wichtige Vertreter einer Menge von praxisrelevanten
Formalismen zu sehen, die in ω-Automaten übersetzt werden können.
Ein Schwerpunkt dieses Textes lag auf der genaueren Betrachtung der Presburger-Arithmetik.
Sie wurde durch Hinzunahme von Bitvektoroperation zu
Presburger Z,Bit -Arithmetik erweitert. Es wurde gezeigt, dass diese Presburger
Z,Bit -Arithmetik ausdrucksstärker als Presburger-Arithmetik ist. Während