Verifikation reaktiver Systeme - Universität Kaiserslautern

3.8 Bestimmung der Schranke k
Das Problem was bisher umgangen wurde ist die Wahl der Schranke k. Ausgehend
von dem verwendeten Beispiel M |= k Ef wird für ein vorgegebenes
k überprüft, ob die Bedingung erfüllt ist. Würde dann bei diesem k der Fall
M ̸|= k Ef auftreten, so wird der Wert von k inkrementell erhöht. Dies kann
potentiell zum Halteproblem führen, was bedeutet, die Prozedur terminiert nie.
Diese Aussage würde zutreffen, wenn k potentiell unendlich groß werden könnte.
Dies ist aber nicht möglich. Um nun aber Aussagen treffen zu können, ob
die Schlussfolgerung M ̸|= k Ef zutrifft, also ob k nicht in dem ihm möglichen
Intervall liegt, müssen Eingrenzungen für k getroffen werden.
Die Behauptung, dass k in einem Intervall liegt ist relativ intuitiv. Die zugrundeliegende
Struktur ist ein endlicher Automat mit endlich vielen Zuständen. Da
nur endlich viele besucht werden können, kommen ab einer bestimmten Schranke
k keine neuen Zustände mehr in die betrachtete Menge hinzu und es kann mit
der Erhöhung der Schranke gestoppt werden. Also gilt als grobe Nährung, wenn
M |= Ef gilt, dann muss die Schranke k ≤|M| sein. Hierbei ist |M| die Anzahl
der Zustände der Kripke-Struktur. Das Problem was sich hierbei ergeben würde
wäre, dass der Zustandsraum nicht bekannt ist und so auch nicht die betrachtete
Anzahl an Zuständen. Auf Grund der booleschen Kodierung der Zustände ist es
aber möglich die Anzahl an Zuständen nach oben zu begrenzen. Die maximale
Anzahl an Zuständen einer Struktur wäre demnach 2 n , wobei n die Anzahl der
booleschen Variablen darstellt.
Bei Modellierung größerer Systeme ist es offensichtlich, dass diese Grenze zu
groß gewählt ist (32-bit Register).
Definition Diameter Ein Diameter einer Kripke-Struktur M ist die minimale
Anzahl d ∈ N mit folgender Eigenschaft: Für jede Sequenz von Zuständen
s 0 , ..., s d+1 mit (s i ,s i+1 ) ∈ T für i ≤ d, existiert eine Sequenz von Zuständen
t 0 , ..., t l mit l ≤ d, so dass t 0 = s 0 , t l = s d+1 und (t j ,t j+1 ) ∈ T für j ≤ l gilt.
Ist also ein Zustand v von einem Zustand u erreichbar, dann ist v auch über
einen Pfad der Länge kleiner d ausgehend von u erreichbar.
Für eine Formel f := EFp wäre dann M |= EFp erfüllt, wenn ein k ≤ d
existiert, mit M |= k EFp.
Der Diameter d ist die minimale Anzahl an zu untersuchenden Zuständen, die
folgende Formel erfüllt:
d∧
∀s 0 , ..., s d+1 .∃t 0 , ..., t d . T (s i ,s i+1 ) → (t 0 = s 0 ∧ d−1 ∧
∨
T (t i ,t i+1 ∧ d t i = s d+1 )
i=0
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i=0
i=0
s i = s d+1
i=0
Definition Rekurrenz-Diameter Hierunter versteht man die kleinste Zahl
d ∈ N mit folgender Eigenschaft. Für jede Sequenz von Zuständen s 0 , ..., s d+1
mit (s i ,s i+1 ) ∈ T für i ≤ d existiert ein j ≤ d, so dass s d+1 = s j gilt.
Sei nun eine Formel f mit Rekurrenz-Diameter d gegeben dann gilt M |= Ef
genau dann, wenn ein k ≤ d existiert, mit M |= k Ef.
Der Rekurrenz-Diameter d ist die minimale Anzahl die folgende Formel erfüllt:
∀s 0 , ..., s d+1 .
d∧
∨
T (s i ,s i+1 ) → d
i=0