Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
98 CAPÍTULO 6. OUTROS MÉTODOS
ou seja,
⎛
1
⎛ ⎞
( )
0 0
a
x
x y z ⎝
2 1
0 0 ⎠ ⎝y⎠ .
b 2 1
0 0 z
Versão Preliminar
c 2 ⎞
Assim, podemos representar um elispóide por uma matriz quadrada simétrica,
e a definição extende-se naturalmente para R n .
Definição 6.1 (Elipsoide). Um elipsoide é o conjunto de pontos definido
por
{
}
x : (x − x ′ )M −1 (x − x ′ ) ≤ 1
onde x e x ′ são vetores com n elementos e M é uma matriz quadrada definida
positiva e simétrica de ordem n. O vetor x ′ é o centro do elipsoide.
3
2
1
−1 1 2 3
O algoritmo inicia com um elipsoide centrado na origem e tendo interseção
com parte da região viável (se ela existir). Em cada iteração o algoritmo
verifica se o centro do elipsoide é viável. Se for, obviamente a solução
foi encontrada; senão, troca o elipsoide por outro, menor, que contém
a interseção do anterior com a região viável. Pode-se demonstrar que se
nenhuma solução for encontrada após um certo número de iterações, não
há soluções viáveis para o sistema.
A cada iteração, uma desigualdade violada é usada para determinar o
novo elipsoide (calcula-se novo centro x k+1 e nova matriz M k+1 ), resultando
em um novo elipsóide.
A cada iteração, se a solução atual (o centro do elipsóide) não é viável,
há uma desigualdade violada a i x ≤ b i . O algoritmo usa o hiperplano a i x =
b i .