Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
188 APÊNDICE B. RESPOSTAS E DICAS
Resp. (Ex. 9) — (Dica) Prove que cada uma das definições tem a outra como
consequência. (⇒) Presuma que a definição a ser usada é a primeira (a que
fala de combinações convexas). (i) uma reta é um conjunto convexo (ii) S é
convexo (iii) interseção de convexos é convexa (iv) um conjunto de pontos
colineares mas não no mesmo segmento não poderia ser convexo - então
a interseção é um segmento.
(⇐) Presuma que a definição é a segunda (a que fala de interseção ao invés
de combinações convexas) (i) para quaisquer pontos a e b em S, considere
a reta que passa por a e b. (ii) a interseção com S é um segmento contendo
a e b. (iii) ssim, as combinações convexas de a e b (que ficam no caminho
entre eles) pertencem a S.
Resp. (Ex. 18) — (i) Não:
e
( e
∇ 2 a
f(a, b) =
Versão Preliminar
)
1
b 2
x T ∇ 2 f(a, b)x = e a x 2 1 − x2 2
b 2 .
Com x 1 = 0, temos − x2 2
negativo para todos x
b 2 2 e b.
Ou ainda, geometricamente, se fixarmos a temos a função log(b), que não
é convexa.
(ii) g(a, b) = e a − log(b) é convexa, porque é soma de duas funções convexas.
Ou ainda, porque
x T ∇ 2 g(a, b)x = e a x 2 1 + x2 2
é sempre positivo.
(iii) Sim: a Hessiana é ( e
a+b
e a+b )
e a+b e a+b ,
com autovalores 0 e 2e a+b .
Resp. (Ex. 20) — Em (iv), os autovalores são
z ± √ z 2 + 4y 2
2y 2 .
b 2