Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
84 CAPÍTULO 4. DUALIDADE
Sejam p = y T (b − Ax) e q = x T ( A T y − c ) . Então,
( )
p + q = y T (b − Ax) + x T A T y − c
(
)
= y T b + −y T Ax + x T A T y − x T c
= y T b − x T c
≥ 0,
porque y T b ≥ x T c, pelo Teorema 4.10.
(⇒) Se as duas soluções forem ótimas, temos p + q ≥ 0 e também
p = q, e necessariamente p = q = 0. Portanto,
(⇐) Suponha p = q = 0. Então
y T ( (b − Ax) = 0
)
x T A T y − c = 0
( )
y T (b − Ax) + x T A T y − c = 0
y T b − x T c = 0
y T b = x T c
e, como as soluções tem o mesmo valor objetivo e são viáveis para o primal
e para o dual, são ambas ótimas.
4.4 Algoritmo simplex dual
Considere o primal e o dual de um programa linear, como os que são dados
a seguir.
maximize c T x
s.a.: Ax ≤ b
x ≥ 0.
minimize b T y
s.a.: A T y ≥ c
y ≥ 0.
Versão Preliminar