Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
182 CAPÍTULO 13. OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR
13.2.4 Métodos
13.3 Otimização linear e dualidade
Claramente, um problema de programação linear é um caso particular de
otimização não linear.
Notas
A demonstração do Teorema 13.4 (de Taylor) pode ser encontrada em livros
de Cálculo de Várias Variáveis [CJ99; Apo69].
Os livros de Luenberger [Lue10], Boyd e Vandenberghe [BV04] e de
Nocedal [NW06] são boas introduções ao assunto e contém demonstrações
detalhadas das condições de Karush-Kuhn-Tucker. Os livros de Bazaraa
[BSS06] e Griva [GNS09] são bons como segunda leitura.
Exercícios
Ex. 86 — Reescreva o primeiro exemplo como problema de minimização
e mostre as condições de otimalidade para o problema modificado.
Ex. 87 — Demonstre o Teorema 13.8.
Ex. 88 — Mostre como foram obtidos λ 1 e λ 2 no exemplo 13.15.
Ex. 89 — Considere novamente o exemplo 13.10. Suponha que tenhamos
mudado o problema, mantendo a mesma função objetivo e as mesmas
restrições, mas agora queremos minimizar. Faça uma análise semelhante
àquela feita no exemplo 13.15, mostrando a solução ótima, os multiplicadores
de Lagrange e o valor da Hessiana.
Ex. 90 — Considere o seguinte problema:
min x 2 + y 2
i) Mostre o dual do problema.
s.a: x 2 + y 2 ≥ (x + y + 1) cos(x) + xy
Versão Preliminar
ii) Descreva o Lagrangeano e as condições de Karush-Kuhn-Tucker.
iii) Determine se (0, 0) T é solução ótima.
Ex. 91 — Mostre a forma geral do dual de um programa quadrático.