Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
62 CAPÍTULO 3. O MÉTODO SIMPLEX
O simplex funciona da mesma forma em problemas de maximização
e minimização. A única diferença na execução do algoritmo é que, como
queremos minimizar o objetivo, escolheremos os coeficientes reduzidos
de custo com valor negativo ao escolher a coluna a entrar na base, e teremos
uma solução ótima quando só houver coeficientes reduzidos de
custo positivos.
Exemplo 3.22. Resolveremos o seguinte problema de minimização.
min 2x 1 + x 2 + x 3
s.a.: x 1 + x 2 ≥ 2
x 2 + x 3 ≥ 3
x ≥ 0
Com as variáveis de folga, o problema é reescrito da seguinte maneira.
min 2x 1 + x 2 + x 3
s.a.: x 1 + x 2 − x 4 = 2
x 2 + x 3 − x 5 = 3
x ≥ 0
Se montarmos o tableau Simplex, não teremos uma escolha simples de
base inicial.
⎛
1 1 0 −1 0
⎞
2
⎝1 0 1 0 −1 3⎠
Não podemos usar as variáveis de folga, porque elas tem coeficientes negativos
no tableau, e portanto seus valores são negativos (x 4 = −2, x 5 =
−3). Também não podemos usar as colunas 2 e 3, que formam uma submatriz
identidade (referentes às variáveis x 2 e x 3 ), porque a solução seria
inviável: teríamos x 2 = 2, x 3 = 3, e x 2 +x 3 = 5, violando a segunda restrição.
Usamos portanto o método das duas fases. Minimizamos a função y 1 +
y 2 , e o tableau inicial é
⎛
⎞
1 1 0 −1 0 1 0 2
⎝ 1 0 1 0 −1 0 1 3 ⎠
−2 −1 −1 1 1 0 0 −5
Versão Preliminar
No cálculo dos coeficientes de custo, temos
( )
1 1 0 −1 0
z = (1, 1)
= (2, 1, 1, −1, −1),
1 0 1 0 −1