Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
116 CAPÍTULO 7. PROBLEMAS DE TRANSPORTE
a i b j
X é viável, já que ∑
x ij = ∑ a i b j
X
j
j
= a ∑
i
X
e semelhantemente para ∑ i x ij = b j .
= a i
X X
= a i ,
Exemplo 7.3. No exemplo 7.1, temos X = 20, e uma solução viável é
Versão Preliminar
j
b j
x 11 = a 1 b 1 /20 = 12/5
x 12 = a 1 b 2 /20 = 8/5
x 21 = a 2 b 1 /20 = 6
x 22 = a 2 b 2 /20 = 4
x 31 = a 3 b 1 /20 = 18/5
x 32 = a 3 b 2 /20 = 12/5.
Teorema 7.4. Todo problema de transporte é limitado.
Demonstração. Como cada x ij é limitado por a i e b j , o problema é também
limitado.
A seguir mostramos alguns outros Teoremas a respeito de problemas
de transporte.
Teorema 7.5. A matriz A de um problema de transporte, da maneira como
descrita anteriormente, tem posto m + n − 1.
Demonstração. Como a soma das primeiras m linhas é igual à soma das
outras n linhas, claramente o posto não pode ser m+n (podemos escrever
uma das linhas como combinação linear das outras).
Mostramos agora que retirando uma das linhas, o conjunto torna-se linearmente
independente e que o posto de A deve ser m + n − 1. Denotamos
as linhas por l i quando representam uma das m restrições do
tipo ∑ j x ij = a i (que convencionamos posicionar na parte superior da
∑
matriz) e por L j quando representam uma das outras n restrições do tipo
i x ij = b j .
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