Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
178 CAPÍTULO 13. OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR
x2
12
8
4
0
−4
0 1 2 3 4
A solução ótima para este problema é x ∗ = (2.125, 11.9375) T , e o valor da
função objetivo neste ponto é 14.0625.
◭
13.2.1 O Lagrangeano
Versão Preliminar
x 1
Do Cálculo, relembramos o método dos multiplicadores de Lagrange para
otimização.
Dada uma função diferenciável F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) e restrições g i (x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
0, se x ∗ é um ponto extremo (máximo ou mínimo local) de f, então existem
λ 1 , λ 2 , . . . , λ n não negativos tais que
∇f(x ∗ ) = ∑ i
λ i ∇ i g i (x ∗ ),
ou seja, o gradiente de f é combinação linear dos gradientes das g i com
coeficientes λ i .
Primeiro observamos que podemos escrever
∇f(x ∗ ) − ∑ i
λ i ∇ i g i (x ∗ ) = 0.
Notamos também que se o ponto x ∗ satisfaz de maneira estrita uma desigualdade
g i (x) ≥ 0 – ou seja,
g i (x ∗ ) > 0
– então podemos ignorá-la, usando λ i = 0. Desta forma podemos presumir
que, quando o multiplicador λ i > 0, a restrição é satisfeita como
igualdade, g i (x ∗ ) = 0.