Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
180 CAPÍTULO 13. OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR
iii) folgas complementares: λ i g i (x ∗ ) = 0
iv) viabilidade primal: g i (x ∗ ) ≤ 0.
Além das condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker, há também
uma condição suficiente, de segunda ordem, para otimalidade.
Teorema 13.14 (Condições suficientes de segunda ordem para otimalidade).
Se as condições de Karush-Kuhn-Tucker são satisfeitas e ∇ 2 xxL(x ∗ , λ) é positiva
definida, então x ∗ é ótimo local.
Não conhecemos método para resolver para um problema de otimização
não linear analiticamente usando apenas as condições de otimalidade.
Estas condições são usadas por algoritmos para direcionar a busca
pelo ótimo. No exemplo a seguir apenas verificamos que as condições são
verdadeiras para a solução do exemplo 13.10.
Exemplo 13.15. Suponha que tenhamos o ponto (2.125, 11.9375) como candidato
a solução do problema descrito no exemplo 13.10. Verificaremos
primeiro se este ponto pode ser uma solução ótima usando as condições
necessárias de primeira ordem. Se forem, verificaremos a condição de
segunda ordem.
O Lagrangeano é
L(x, λ) =f(x) − ∑ λ i g i (x)
(
) (
)
=(x 1 + x 2 ) − λ 1 (−x 2 1 + 4x 1 − x 2 − 4) − λ 2 (4x 2 1 − 16x 1 + x 2 + 4) ,
Precisamos então calcular ∇ x L(x, λ):
)
∇ x L(x, λ) =∇ x
(x 1 + x 2 − λ 1 (−x 2 1 + 4x 1 − x 2 − 4) − λ 2 (4x 2 1 − 16x 1 + x 2 + 4)
(
)
= − λ 2 (8x 1 − 16) − λ 1 (4 − 2x 1 ) + 1, λ 1 − λ 2 + 1
As condições KKT são, portanto:
i) −λ 2 (8x 1 − 16) − λ 1 (4 − 2x 1 ) + 1 = 0
λ 1 − λ 2 + 1 = 0
Versão Preliminar
ii) λ 1 , λ 2 ≥ 0
iii) λ 1 (−x 2 1 + 4x 1 − x 2 − 4) = 0
λ 2 (4x 2 1 − 16x 1 + x 2 + 4) = 0