ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 22 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS E SOLUÇÕES VIÁVEIS 10 8 6 4 2 f(x) −4 −2 0 2 4 x Definição 2.20 (Ponto extremo de conjunto convexo). Um ponto x ∈ S convexo é um ponto extremo de S se não é combinação convexa de outros pontos de S. Exemplo 2.21. Qualquer ponto de uma parábola é ponto extremo de seu epigrafo. ◭ Exemplo 2.22. Ilustramos alguns dos pontos extremos (não todos) nos conjuntos a seguir. Versão Preliminar Teorema 2.23. Sejam S 1 , S 2 , . . . , S n conjuntos convexos. Então também são convexos ∩S i , ∑ S i e αS i , α ∈ R. ◭
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 2.1. CONJUNTOS CONVEXOS 23 Demonstração. Demonstramos apenas o caso da soma. Os outros são pedidos no exercício 10. Sejam a, b ∈ S i + S j . Então a = a 1 + a 2 e b = b 1 + b 2 , com a 1 , b 1 ∈ S i e a 2 , b 2 ∈ S j . Para 0 ≤ λ ≤ 1, que está em S i + S j . λa + (1 − λ)b = λ(a 1 + a 2 ) + (1 − λ)(b 1 + b 2 ) = λa 1 + λa 2 + (1 − λ)b 1 + (1 − λ)b 2 = λa 1 + (1 − λ)b 1 + λa 2 + (1 − λ)b 2 = [λa 1 + (1 − λ)b 1 ] + [λa 2 + (1 − λ)b 2 ] , Definição 2.24 (poliedro). A interseção de um número finito de semiespaços em R n é um poliedro. Podemos reescrever esta definição. Definição 2.25 (poliedro). Um conjunto de pontos P ∈ R n é um poliedro se e somente se pode ser descrito como P = {x ∈ R n : Ax = b}, onde A é uma matriz e b ∈ R n . Um poliedro pode não ser limitado, como por exemplo o poliedro definido pelas inequações ilustrado na figura a seguir. x 2 −5x 1 + 2x 2 ≤ −2 −6x 1 + 25x 2 ≥ 27 2 , 4 3 2 Versão Preliminar 1 0 -1 0 1 2 3 4 -1 −5x 1 + 2x 2 ≤ −2 −6x 1 + 25x 2 ≥ 27 2 x 1
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