Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
6 CAPÍTULO 1. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Exemplo 1.2. Ilustramos as técnicas descritas transformando o seguinte
problema para a forma padrão.
min x 1 − 3x 2 + 5x 3
s.a. : 4x 1 + x 2 ≥ 10
x 1 − 3x 3 ≤ 20
x 3 + x 2 = 15
x 1 , x 2 ≥ 0
Para transformar o problema de minimização em maximização, multiplicamos
a função objetivo por −1.
max −x 1 + 3x 2 − 5x 3
Incluímos uma variável nova a cada desigualdade, obtendo
4x 1 + x 2 − s 1 = 10
x 1 − 3x 3 + s 2 = 20
Finalmente, determinamos x 3 = v − w, com v, w ≥ 0. O programa linear é
então
max − x 1 + 3x 2 − 5v + 5w
s.a. : 4x 1 + x 2 − s 1 = 10
x 1 − 3v + 3w + s 2 = 20
v − w + x 2 = 15
x i , v, w ≥ 0
Também será conveniente representar programas lineares usando notação
matricial. Claramente, um problema
max c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x n
s.a. : a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
Versão Preliminar
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m
x i ≥ 0
.
◭