Programação Linear (e rudimentos de otimização não-linear)

notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini
104 CAPÍTULO 6. OUTROS MÉTODOS
E neste novo problema temos y = e, que evidentemente é um ponto viável.
Moveremos y na direção do gradiente do objetivo. No entanto, não
queremos sair da região viável. Uma maneira de permanecer na região
viável é modificar a função objetivo, projetando-a no espaço nulo de S.
Teorema 6.6. Se x ′ é solução viável para um problema cujas restrições são
Ax = b, e y pertence ao espaço nulo de A, então x ′ + y também é viável.
Demonstração. Trivialmente, temos
Ax ′ = b
Ay = 0 (y está no espaço nulo de A)
Ao somarmos y à solução viável x ′ , obtemos outra solução viável:
A(x ′ + y) = Ax ′ + Ay = b + 0 = b.
O operador de projeção no espaço nulo de S é 2
P = I − S T ( SS T ) −1
S
= I − (AD) T [ AD(AD) T ] −1
AD
= I − DA T [ AD 2 A T ] −1
AD (D = D T (é diagonal))
A projeção do gradiente c T T no espaço nulo de AD é
c p = P(c T D) T
= PDc
= I − DA T [ AD 2 A T ] −1
AD (Dc)
= I − DA T [ AD 2 A T ] −1
AD 2 c.
Versão Preliminar
Se c p (que é o gradiente do objetivo, projetado) for igual a zero, não há
direção viável que melhore a solução, que portanto é ótima.
2 Uma demonstração de que este de fato é o projetor no espaço nulo pode ser encontrada
no livro de Harry Dym [Dym07].