ProgramaÃ§Ã£o Linear (e rudimentos de otimizaÃ§Ã£o nÃ£o-linear)

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notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 122 CAPÍTULO 7. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Teorema 7.9. Seja x uma solução viável básica para um problema de designação. Então as variáveis básicas em x tem valor zero ou um. Demonstração. A solução é inteira por se tratar de um problema de transporte; e é composta de zeros e uns porque o lado direito das restrições é um e os x ij não podem ser negativos. O algoritmo para problemas de transporte descrito anteriormente neste Capítulo não é a melhor opção para problemas de atribuição, porque neste tipo de problema as soluções são naturalmente degeneradas (cada x ij é igual a zero ou um). Há um algoritmo melhor, chamado de “método Húngaro”. Teorema 7.10. Se uma constante for somada a uma das linhas ou colunas da matriz de custos de um problema de designação, a solução ótima permanece a mesma. Demonstração. Demonstramos o fato para linhas, sendo que para colunas o desenvolvimento é semelhante. Seja C a matriz de custos do problema original com valor ótimo z. Somamos α a uma linha de C, obtendo a matriz C ′ . Ao calcularmos o valor ótimo, a única mudança será na linha i, onde teremos (c i1 + α)x i1 + (c i2 + α)x i2 + . . . = c i1 x i1 + αx i1 + c i1 x i2 + αx i2 + . . . = c i1 x i1 + c i1 x i2 + . . . + α ∑ j = z + α ∑ j = z + α. O último passo segue de ∑ j x ij = 1. Como o valor objetivo é apenas aumentado por uma constante para qualquer solução, a solução ótima permanece a mesma. subtraia o mí nimo de cada linha de todos elementos da linha subtraia o mí nimo de cada coluna de todos elementos da coluna repita: cubra os zeros com o menor nú mero de tra ços se L = n PARE seja x a menor quantidade não coberta pelos tra ços subtraia x das linhas não cobertas some x ás colunas cobertas Versão Preliminar x ij x ij
notas de aula – versão 64 - Jerônimo C. Pellegrini 7.5. O PROBLEMA DE ATRIBUIÇÃO 123 Notas O método Húngaro foi desenvolvido por Kuhn [Kuh55] a partir do trabalho dos matemáticos Húngaros Egerváry e König. O livro de Mokhtar Bazaraa e John Jarvis [BJ77] trata de programação linear relacionada a problemas em redes. Exercícios Ex. 47 — Use a regra do canto noroeste para obter soluções viáveis básicas iniciais para os problemas de transporte a seguir. a) a = ( 100 100 200 ) , b = ( 50 300 50 ) b) a = ( 3 4 5 6 1 ) , b = ( 6 2 2 7 2 ) c) a = ( 10 10 20 20 30 ) , b = ( 15 15 40 4 16 ) Ex. 48 — Resolva o problema de transporte a seguir usando o algoritmo elaborado neste Capítulo. ⎛ ⎞ a = ( 10 21 7 27 ) 3 2 4 5 b = ( 10 50 5 ) C = ⎝4 3 3 2⎠ 2 5 5 1 Ex. 49 — Aplique o algoritmo de transporte no seguinte problema. Há três origens, com oferta igual a 20, 50 e 10; quatro destinos, com demandas 30, 5, 15 e 35. Os custos são dados abaixo. a 1 a 2 a 3 b 1 1 3 2 b 2 3 2 1 b 3 2 1 3 b 4 1 3 2 Ex. 50 — Implemente o algoritmo descrito neste Capítulo para problemas de transporte. Versão Preliminar Ex. 51 — O Teorema 7.5 pode ser mostrado extraindo de A uma matriz quadrada de ordem m + n − 1 e observando seu determinante. Elabore esta demonstração.
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